一、SOR迭代法收敛的充要条件（论文文献综述）
雍龙泉[1]（2021）在《对线性方程组迭代法的一些补充》文中研究表明研究了线性方程组的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件与充分条件,通过算例进行了深入分析.采用实例阐述了Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛性之间无联系.直接利用矩阵的某些特征给出了Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法收敛的一些充分条件.
谭红成[2]（2021）在《大规模MIMO系统中的低复杂度方法研究》文中研究说明由于可以同时提高无线通信系统的容量和频谱效率,大规模多输入多输出（MIMO）技术得到了越来越多的关注,为了同时为多个用户提供服务,基站端通常配置大规模的天线阵列,由此也带来了严重的用户干扰。预编码技术能够有效地抑制多用户干扰,且在大规模MIMO系统中,随着天线数目增多,采用线性预编码的系统也能获得接近最优预编码的性能,因此获得了更多关注。虽然线性预编码复杂度通常比非线性预编码低,但由于需要进行矩阵求逆运算,而大规模MIMO系统信道矩阵规模很大,因此准确求逆的复杂度很高,需要进一步降低复杂度,本文就主要研究大规模MIMO系统中的低复杂度预编码算法,提出了两种新的基于迭代的低复杂度预编码算法。本文首先在对称加速超松弛（SAOR）迭代算法的基础上作出改进,通过引入加权系数得到加权对称加速超松弛（WSAOR）算法并用于预编码,该算法包含了各种迭代算法的形式,可以通过参数的选择退化成加权对称逐次超松弛（WSSOR）迭代等现有的各种迭代算法,具有更高的灵活性。相比于SAOR算法,WSAOR算法复杂度增加很少而性能提升很大,且在各种已有的迭代算法中迭代矩阵谱半径最小,收敛速度最快。然后通过预处理进一步加快迭代开始时的收敛速度获得了预处理加权对称加速超松弛（PWSAOR）算法,并通过仿真验证了其性能,在相同复杂度下性能优于现有的部分预编码算法,在信噪比较低或者信道估计质量不够高的情况下,迭代一次时就能获得与迫零（ZF）预编码几乎一致的性能,而复杂度降低了一个数量级。最后,将前向后向加速超松弛（FBAOR）算法用于预编码中,复杂度与SAOR算法一致而性能提升较大,并结合加权系数获得了基于加权前向后向加速超松弛（WFBAOR）的预编码算法,相比于WSAOR算法其后向迭代参数不同,进一步增加了自由度。WFBAOR算法相比WSAOR算法在复杂度不变的情况下误比特率和可达和速率性能得到了提升,在各种迭代算法中迭代矩阵谱半径最小,收敛最快。最后我们将原本逐个求解的WFBAOR算法并行化,在性能略微降低的同时增强了并行性,依然具有很快的收敛速度。
吴思婷[3]（2021）在《求解大规模稀疏线性方程组的迭代方法的研究》文中认为大规模稀疏线性方程组在许多科学与工程领域都有着非常重要的作用。因此如何快速有效地求解大规模稀疏线性方程组已经成为当下非常重要的研究课题之一。目前求解线性方程组的方法,主要分为直接法和迭代法。直接法对规模较小的线性方程组的求解较为方便,而迭代法更适用于大规模的稀疏线性方程组的求解。2003年,白中治等人提出了一种Hermitian和反Hermitian（HSS）迭代方法。该方法具有迭代格式简单、适用范围广、无条件收敛等优点,一经提出便广受关注。目前HSS类方法已成为求解大规模稀疏线性方程组的主流方法之一。为了高效地求解大规模稀疏线性方程组,本文给出了三种有效的迭代方法。首先本文提出了一种求解大规模稀疏正定线性方程组的外推的正定和反Hermitian（EPSS）迭代方法,并给出了 EPSS方法收敛的充要条件。数值实验证明,EPSS方法比PSS方法有更快的收敛速度和更小的迭代次数。然后本文还针对大规模稀疏非Hermitian正定线性方程组的求解,给出一种外推的广义Hermitian和反Hermitian（EGHSS）迭代方法。接着理论分析了 EGHSS方法的收敛性,给出了该方法收敛的充要条件。数值实验表明,在处理某些实际问题中,EGHSS方法比GHSS方法和EHSS方法更有效。除此之外,本文对系数矩阵进行新的分裂,提出一种新的求解鞍点问题的广义超松弛（PSS-GSOR）迭代方法。理论分析表明,PSS-GSOR方法在一定条件下收敛于线性方程组的唯一解。数值计算证明PSS-GSOR方法的有效性。最后对全文进行了总结分析,并对未来的研究进行展望。
肖萍[4]（2019）在《大规模MIMO系统的低复杂度检测算法研究》文中进行了进一步梳理移动互联网和物联网的飞速发展,为第五代移动通信系统（5G,5th Generation Mobile Communication System）提供了广阔的应用前景。大规模多输入多输出（MIMO,Multiple-Input Multiple-Output）技术以其链路稳定性好、频谱利用率高等优势,被公认为是5G系统中最为核心的关键技术之一。然而,当天线数量达到数十甚至上百根时,接收端的信号检测更加复杂,能否对发送信号进行正确检测是大规模MIMO系统实际应用的重要影响因素。本文的研究内容主要包含两个方面:一是线性检测算法,针对发射端天线数量远小于接收端天线数量或用户数量远小于基站天线数量的情况;二是当发射端天线数量接近接收端天线数量或用户数量接近基站天线数量时,线性检测算法性能欠佳,因此本文研究分析了以下几种非线性算法,即基于稀疏性的压缩感知检测算法与似然上升搜索算法、主动禁忌搜索算法及简约邻域法。首先,本文针对发射端天线数量远小于接收端天线数量或用户数量远小于基站天线数量的情况应用线性检测算法。最小均方误差（MMSE,Minimum Mean Squared Error）算法的检测性能优于匹配滤波（MF,Matched Filter）算法、迫零（ZF,Zero Forcing）算法,但计算复杂度高。为降低MMSE算法中加权矩阵求逆的复杂度,本文研究分析了两种改进算法——Neumann级数似然算法和迭代法,迭代法包括Gauss-Seidel迭代法、Richardson迭代法、超松弛（SOR,Successive Over Relaxation）迭代法、对称超松弛（SSOR,Symmetric Successive Over Relaxation）迭代法等。在保证Neumann级数似然法的展开项不超过2的前提下,Neumann级数似然算法和多种迭代法的计算复杂度为O（7）N t2（8）,相比MMSE算法,复杂度可降低一个数量级,更利于大规模MIMO系统的实际应用。为加快迭代法的收敛速度,本文分析了松弛因子对Richardson、SOR及SSOR迭代法的影响,并对迭代法使用对角估计法、域估计法获得的初始解。经过综合对比,得到迭代法中较优的三种——Gauss-Seidel、SOR及SSOR迭代法。在对Gauss-Seidel、SOR及SSOR迭代法均使用估算初始解的情况下,Gauss-Seidel、SOR迭代两次,SSOR迭代一次,可达到MMSE检测算法的性能且计算复杂度十分接近,但考虑到松弛因子对SOR、SSOR迭代法的影响,得出以下结论:若能估算SOR、SSOR迭代法的最佳松弛因子,可选用Gauss-Seidel、SOR及SSOR迭代法,如若不能获得SOR、SSOR迭代法的最佳松弛因子,则应选用Gauss-Seidel迭代法。然后,当发射端天线数量接近接收端天线数量或用户数量接近基站天线数量时,线性检测算法性能欠佳,因此本文研究分析了基于稀疏性的压缩感知检测算法。以广义正交匹配追踪算法为基础,本文提出了稀疏性提升迭代扩展（SBIE,Sparstity-Boosted Iterative Extend）及级联稀疏性提升迭代扩展（CSBIE,Concatenated Sparstity-Boosted Iterative Extend）检测算法。随着天线数量的增加,SBIE算法检测性能越来越好,通过仿真分析SBIE-MF、SBIE-ZF、SBIE-MMSE算法,SBIE-MF检测算法性能优异且计算复杂度低。当天线数量较少时,级联后的SBIE-MF算法相比之前性能降低。当误比特率为10-3时,CSBIE-ZF、CSBIE-MMSE算法相比SBIE-ZF、SBIE-MMSE算法可获得约1dB增益,级联后的SBIE-ZF、SBIE-MMSE算法性能得到提升。最后,本文详细研究了似然上升搜索算法（LAS,Likelihood Ascent Search）和主动禁忌搜索算法（RTS,Reactive Tabu Search）,并分析仿真了其改进算法。通过仿真比较,当大规模MIMO系统中发射端的天线数量接近接收端的天线数量或用户数量接近基站端的天线数量时,LAS、RTS算法的检测性能优于SBIE-MF算法。本文研究分析了简约邻域法,提出一种选择邻域度量的方法。LAS、RTS算法使用简约邻域后,检测性能同未使用之前相比并无损失,但简约邻域法却通过减少搜索向量的数量降低了计算复杂度,LAS算法搜索向量的数量下降超90%,RTS算法搜索向量的数量下降约为90%。由此可见,基于简约邻域的LAS、RTS算法相比LAS、RTS算法更适用于实际中大规模MIMO系统的检测。
杨凤[5]（2019）在《复对称线性方程组的迭代法及预处理研究》文中指出大型稀疏复对称线性系统广泛存在于科学计算和工程应用中,因此寻找此类问题高效的求解方法具有重要的意义。本文主要研究了求解复对称线性系统的迭代法及预处理,研究主要内容分为三部分。第一,讨论了求解复对称线性系统的CRI迭代法,进一步提出了CRI变型迭代法,并给出了收敛性和最优收敛因子的证明。在理论上,将CRI变型迭代法分别和CRI迭代法和GPMHSS迭代法进行了比较。数值实验验证了CRI变型迭代法的有效性。第二,基于逐次超松弛（SOR）迭代技术,提出了求解复对称线性系统的CRI-SOR迭代法,分析了其收敛性质,给出了其最优参数的计算方法和实用的选取方法。数值实验验证了CRI-SOR迭代法能够有效的提高CRI迭代法求解线性系统的效率。第三,研究了PSPHSS迭代法,在线性系统的系数矩阵条件弱化的收敛性质,分析了预处理矩阵V?W T时,PSPHSS迭代法的收敛性质和极小化收敛半径的最优参数。数值实验表明该预处理矩阵的有效性。
黄政阁[6]（2018）在《鞍点问题的迭代法和预处理技术研究》文中研究表明鞍点问题广泛来源于许多科学和工程应用领域,例如偏微分方程的混合有限元近似,图像重建和配准以及约束优化等.鞍点问题是一类大规模稀疏线性系统,其求解是科学和工程计算的关键问题之一.因此,研究求解鞍点问题的有效数值解法具有十分重要的理论意义和实际应用价值.由于鞍点问题系数矩阵往往具有不定性和病态等特点,目前对其求解主要采用基于系数矩阵分裂及其特殊结构等的迭代法和预处理技术.本文对鞍点问题的迭代方法和预处理技术进行了深入的研究,提出了几种新的求解鞍点问题的迭代法和预处理子.主要研究工作如下:1.研究了求解对称鞍点问题的逐次超松弛（SOR）型迭代法.通过使用参数加速技术和构造新的矩阵分裂,提出了广义加速SOR（GASOR）和修正ASOR（MASOR）迭代法,降低了ASOR迭代法中两个迭代格式之间的参数相关性,提高了其收敛速度.并从理论上分析了这两种新迭代法的收敛和半收敛性质.与一些同类迭代法相比,数值实验结果表明新方法具有更快的收敛速度.2.研究了求解Hermitian鞍点问题的Hermitian和反Hermitian分裂（HSS）型迭代法.将参数化预处理HSS（PPHSS）迭代法第一步迭代中的系数矩阵构造为块下三角矩阵,提出了改进的PPHSS（IPPHSS）迭代法,克服了PPHSS迭代法的第一步迭代格式未使用最新迭代信息的缺点,提高了其收敛速度.其次通过结合IPPHSS和加速HSS（AHSS）迭代法且对其参数进行合适处理,构造了修正PHSS（MPHSS）迭代法,克服了未能给出IPPHSS迭代法的理论最优参数的缺点且进一步提高了其计算效率,并给出了MPHSS迭代法的理论最优参数和实际参数表达式.数值实验结果表明所提出迭代法比同类方法更有效.3.研究了求解非Hermitian鞍点问题的Uzawa型迭代法.将单步HSS（SHSS）迭代法和Uzawa迭代法相结合,并对Uzawa迭代法的第二步迭代使用矩阵预处理和参数加速技术,提出了广义Uzawa-SHSS（GU-SHSS）迭代法,克服了Uzawa-HSS迭代法的每一步迭代中需要求解一个位移反Hermitian线性系统而导致其计算量较大的缺点.随后分析了GU-SHSS迭代法中参数的收敛和半收敛区间.数值实验结果表明求解具有Hermitian占优（1,1）块鞍点问题时,新方法优于一些同类方法.4.研究了非对称鞍点问题的HSS-based预处理子.通过构造双参数变异正定反Hermitian分裂（DPSS）迭代法,并对其导出的预处理子使用松弛消项技术,设计了广义变形DPSS（GVDPSS）预处理子,避免了需要均衡VDPSS预处理子与鞍点问题系数矩阵的差矩阵中参数的问题.分析了GVDPSS迭代法的收敛性,以及GVDPSS预处理矩阵的谱分布和最小多项式阶数的上界,并给出了GVDPSS预处理子的计算过程和参数选取方法.数值实验结果表明新预处理子比一些同类预处理子具有更好的数值表现.5.研究了非对称鞍点问题的位移分裂类预处理子.基于广义位移分裂（GSS）预处理子和改进位移分裂（MSSP）预处理子,提出了包含已知的几类位移分裂类预处理子的参数化GSS（PGSS）预处理子,提高了GSS和MSSP预处理子的计算效率.对于非对称鞍点问题,首次分析了位移分裂类预处理矩阵的特征值分布.并讨论了PGSS迭代法和PGSS预处理子参数的选取.数值实验结果表明所提出迭代法和预处理子比一些已有的迭代法和预处理子更稳定有效。
梁兆正[7]（2017）在《鞍点结构线性系统的迭代求解》文中提出鞍点结构线性系统具有丰富的应用背景,广泛地产生于科学计算和工程应用领域相关问题的数值求解过程.这类线性系统作为一类特殊的分块线性系统,具有大型稀疏的结构特点,适用于迭代求解.鞍点结构系数矩阵的不定性和较差的谱性质,对相应线性系统的有效迭代求解造成了很大困难.本文主要关注产生于Navier-Stokes方程,复线性系统等价变换,PDE约束优化等问题的鞍点结构线性系统的数值求解.针对具体问题,构造有效的迭代方法和预处理子.研究了非奇异鞍点问题的有效迭代求解.设计了适用于产生于数值离散Navier-Stokes方程的鞍点问题的SIMPLE-like（SL）预处理子,与若干同类预处理子相比SL预处理子可导出更好的收敛性质和谱分布结果.构造了两类适用于广义鞍点问题的修正HSS（MHSS）预处理子,相应MHSS迭代方法具有无条件收敛性,且MHSS预处理的矩阵的谱性质优于HSS预处理的矩阵的谱性质.通过技巧性利用Sherman-Morrison-Woodbury公式,进一步改进了求解广义鞍点问题的非线性不精确Uzawa（NIU）迭代法的收敛性结果,并构造和分析了三类具有更好收敛表现的变参数的NIU迭代法.将子矩阵的经典矩阵分裂与Uzawa型迭代法相结合,分别构造和分析了适用于系数矩阵（1,1）块为对称正定矩阵或具有非对称占优性质的非对称正定矩阵的鞍点问题的新的迭代法,有效提升了同类方法的求解效率.研究了子矩阵为方阵的鞍点问题的有效迭代求解.分析了SSOR迭代法求解由复线性系统的等价变换所得的块二乘二线性系统的收敛性和最优迭代参数的选取问题,并构造和分析了具有更好的收敛表现的ASSOR迭代法且给出了更为实用的最优迭代参数选取值.构造了适用于求解产生于时谐抛物优化控制问题的高效的结构化预处理子.该预处理子的算法实现简单且相应的被预处理后的矩阵的特征值聚集在区间[21,1]内.用于加速Krylov子空间方法时,其数值表现稳定且优于已知的若干有效预处理子.研究了奇异鞍点问题的有效迭代求解.将DPSS迭代法进行参数化和预处理变形,构造了适用于求解奇异鞍点问题的具有无条件半收敛性的PDPSS迭代法,并通过适当的松弛变形,设计了具有更好的收敛表现和谱性质的RPDPSS预处理子.加速求解奇异鞍点问题的GMRES方法时,这两类预处理子展现出了优于HSS预处理子的加速效果.通过奇异的预处理变形,将产生于PU迭代法的PU分裂推广为了满足恰当分裂条件的GPU分裂.基于该分裂,构造了适用于求解奇异鞍点问题的GPU迭代法.GPU迭代法以及GPU预处理子加速的GMRES方法均可收敛到奇异鞍点问题的最小范数最小二乘解,显着改善了PU迭代法求解奇异鞍点问题的数值表现.
李晨[8]（2017）在《求解一类鞍点问题的两种改进的Uzawa方法》文中认为作为大型线性方程组的主要问题之一,鞍点问题已经广泛地出现在大量的计算科学和工程应用中。由于鞍点问题的系数矩阵是稀疏的,在计算中往往造成时间和空间成本上的浪费。因此,求解鞍点问题变得十分困难。本文聚焦于经典鞍点问题的求解,基于定常迭代方法的思想,首先系统性地阐述了SOR类方法、Uzawa类方法与HSS类方法的分裂格式构造以及迭代过程。其次,介绍了 Uzawa-AOR迭代法与Uzawa-SAOR迭代法,它们可以被看作以SOR类方法作为内迭代和Uzawa类方法作为外迭代的方式结合而成的一种非精确的Uzawa迭代法。上述两种迭代法通过在原非精确的Uzawa迭代法的基础上构造一个下三角矩阵代替原来的对称正定矩阵,尽管迭代步数与原方法相比有所增加,但是大大减少了每步迭代的工作量和总体CPU时间。为此,本文分别又在Uzawa-AOR迭代法与Uzawa-SAOR迭代法的基础上提出了两种改进的迭代法。通过一个新的下三角矩阵—上三角矩阵的组合系统代替单一的下三角矩阵,迭代格式变得更加广义。另外,新增的参数扩大了原参数的取值范围。与改进之前相比,新的组合系统在每步迭代中会多消耗一部分的工作量。然而数值实验表明,在最优参数选择下,含有四个参数的改进的迭代法比含有三个参数的未改进的迭代法具有更少的迭代步数、总体较少的CPU时间和更快的收敛速度,由此证明了改进的迭代法的有效性和可行性。其中,改进的Uzawa-SAOR迭代法表现出了最优性能。
罗芳,康淑瑰,郭福日,王振芳[9]（2014）在《师范生线性方程组迭代法的教学实践》文中研究表明针对迭代法的特点,强调在线性方程组的教学中要注重探讨迭代法构造的思想,引导学生进行迭代格式的设计,开阔学生的视野,激发学生的探索热情,逐步提高学生的创新能力与研究能力.
任佳菁[10]（2014）在《求解四元数线性代数方程组的迭代算法研究》文中研究指明四元数是由数学家哈密尔顿发现创造的，它的发现源自兴趣而非实用。现在，四元数和四元数矩阵的应用已涉及航天技术、计算机图形学、机器人工业、物理学、雷达和无线通信等科学研究领域的方方面面。因为四元数体上元素乘法的不可交换性，给计算机处理带来了很大的困难，导致关于四元数矩阵数值计算的研究进展缓慢。鉴于四元数在工程应用上的巨大价值，研究关于四元数矩阵的数值算法困难却具有重大而现实的意义。本文的第1章介绍了四元数和四元数矩阵的相关概念、表示方法以及求解四元数矩阵方程的常用解法；第2章回顾了实数域上的几种经典迭代法。第3-4章是作者的创新研究成果，主要包括：1、就四元数矩阵实数化后的基4分块实矩阵，分别建立了基4Jacobi、基4G-S、基4SOR迭代法，并给出了这3种迭代法收敛的充要条件；2、给出了基4的严格对角占优实矩阵的定义，并针对严格对角占优四元数矩阵，证明了其实数化后的基4分块实矩阵为基4的严格对角占优实矩阵；针对正定自共轭四元数矩阵，证明了其实数化后的基4分块实矩阵为对称正定实矩阵；3、针对严格对角占优四元数矩阵，证明了求解相应线性代数方程组的基4Jacobi、基4G-S法均收敛；针对正定自共轭四元数矩阵，证明了求解其线性代数方程组的基4SOR法收敛。本文设计的5个算例，数值计算结果令人满意。
二、SOR迭代法收敛的充要条件（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、SOR迭代法收敛的充要条件（论文提纲范文）
（2）大规模MIMO系统中的低复杂度方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 预编码技术国内外研究现状 |
| 1.3 本论文的结构安排 |
| 第二章 大规模MIMO系统预编码方法介绍 |
| 2.1 大规模MIMO下行系统模型 |
| 2.2 常用矩阵求逆方法 |
| 2.2.1 基于LU分解的矩阵求逆 |
| 2.2.2 基于QR分解的矩阵求逆 |
| 2.2.3 基于cholesky分解的矩阵求逆 |
| 2.2.4 基于Nuemann级数展开的矩阵求逆 |
| 2.2.5 矩阵求逆方法复杂度分析 |
| 2.3 基于迭代的线性预编码算法 |
| 2.3.1 基于高斯-赛德尔(GS)迭代的预编码 |
| 2.3.2 基于逐次超松弛(SOR)迭代的预编码 |
| 2.3.3 基于加速过松弛(AOR)迭代的预编码 |
| 2.3.4 基于加权两阶段(WTS)迭代的预编码 |
| 2.3.5 基于对称逐次超松弛(SSOR)迭代的预编码 |
| 2.3.6 基于加权对称逐次超松弛(WSSOR)迭代的预编码 |
| 2.3.7 复杂度和性能比较 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 基于WSAOR的预编码方法 |
| 3.1 加权对称加速超松弛预编码算法 |
| 3.2 收敛性分析 |
| 3.3 复杂度分析 |
| 3.4 参数选择 |
| 3.5 WSAOR算法仿真性能对比 |
| 3.6 预处理加权对称加速超松弛预编码算法 |
| 3.7 本章小结 |
| 第四章 基于WFBAOR的预编码方法 |
| 4.1 加权向前向后加速超松弛(WFBAOR)预编码算法 |
| 4.2 收敛性分析 |
| 4.3 复杂度分析 |
| 4.4 参数选择 |
| 4.5 多路并行的 WFBAOR 预编码算法 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 全文总结与展望 |
| 5.1 全文总结 |
| 5.2 未来工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 硕士期间获得成果 |
（3）求解大规模稀疏线性方程组的迭代方法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 预备知识 |
| 1.3 本文组织架构 |
| 第2章 求解大规模稀疏线性方程组的经典迭代法 |
| 2.1 迭代法 |
| 2.2 求解线性方程组及鞍点问题的迭代法 |
| 2.3 HSS方法及相关方法 |
| 第3章 正定线性方程组外推的PSS迭代方法 |
| 3.1 EPSS迭代方法 |
| 3.2 收敛性分析 |
| 3.3 数值实验 |
| 第4章 非Hermitian正定线性方程组的外推的广义HSS方法 |
| 4.1 EGHSS迭代方法 |
| 4.2 收敛性分析 |
| 4.3 数值实验 |
| 第5章 求解鞍点问题的广义超松弛迭代法 |
| 5.1 PSS-GSOR迭代方法 |
| 5.2 收敛性分析 |
| 5.3 数值实验 |
| 第6章 总结 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 硕士期间完成的论文 |
（4）大规模MIMO系统的低复杂度检测算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号对照表 |
| 缩略语对照表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 研究内容与章节安排 |
| 第二章 MIMO系统检测算法 |
| 2.1 大规模MIMO系统模型 |
| 2.2 MIMO系统检测算法 |
| 2.2.1 基于矩阵变换的线性检测算法 |
| 2.2.2 基于分层思想的非线性检测算法 |
| 2.2.3 ML检测算法 |
| 2.2.4 最大似然算法的简化算法 |
| 2.3 仿真与分析 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 大规模MIMO系统的线性检测算法 |
| 3.1 大规模MIMO系统特性 |
| 3.1.1 信道硬化 |
| 3.1.2 矩阵W对称正定 |
| 3.2 MF、ZF、MMSE检测算法 |
| 3.3 基于MMSE的改进算法 |
| 3.3.1 Neumann级数似然法 |
| 3.3.2 迭代法 |
| 3.3.3 迭代法的原理 |
| 3.3.4 CG迭代法 |
| 3.3.5 Jacobi迭代法 |
| 3.3.6 GS迭代法 |
| 3.3.7 Richardson迭代法 |
| 3.3.8 SOR迭代法 |
| 3.3.9 SSOR迭代法 |
| 3.4 仿真与分析 |
| 3.5 松弛因子 |
| 3.5.1 Richardson迭代法 |
| 3.5.2 SOR迭代法 |
| 3.5.3 SSOR迭代法 |
| 3.6 初始解的估算 |
| 3.6.1 对角估计法 |
| 3.6.2 域估计法 |
| 3.7 GS、SOR、SSOR迭代法的比较 |
| 3.8 本章小结 |
| 第四章 大规模MIMO系统的非线性检测算法 |
| 4.1 信号稀疏变换 |
| 4.2 SBIE算法 |
| 4.2.1 SBIE算法原理 |
| 4.2.2 SBIE算法仿真与复杂度分析 |
| 4.3 CSBIE算法 |
| 4.3.1 CSBIE算法原理 |
| 4.3.2 CSBIE算法仿真与复杂度分析 |
| 4.4 LAS算法 |
| 4.4.1 LAS算法原理 |
| 4.4.2 M-LAS算法 |
| 4.4.3 Turbo码软输出 |
| 4.4.4 MIV-LAS算法 |
| 4.4.5 MSCS-LAS算法 |
| 4.5 RTS算法 |
| 4.5.1 RTS算法原理 |
| 4.5.2 LTS算法 |
| 4.5.3 R3TS算法 |
| 4.6 仿真与分析 |
| 4.7 简约邻域法 |
| 4.7.1 简约邻域算法原理 |
| 4.7.2 仿真与分析 |
| 4.8 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 全文工作总结 |
| 5.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（5）复对称线性方程组的迭代法及预处理研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 研究内容及结构 |
| 第二章 求解复对称线性系统的CRI迭代法及其变型 |
| 2.1 问题概述 |
| 2.2 CRI变型迭代法 |
| 2.3 和CRI迭代法比较 |
| 2.4 和GPMHSS迭代法比较 |
| 2.5 数值实验 |
| 2.6 总结 |
| 第三章 基于超松弛的CRI加速方法 |
| 3.1 CRI-SOR迭代法的简介 |
| 3.2 CRI-SOR迭代法的收敛性及其最优参数 |
| 3.3 数值实验 |
| 第四章 求解复对称线性系统PSPHSS迭代法 |
| 4.1 PSPHSS迭代法简介 |
| 4.2 收敛分析 |
| 4.3 数值实验 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士期间发表的学术论文 |
（6）鞍点问题的迭代法和预处理技术研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 求解鞍点问题数值解迭代法及预处理子的研究现状 |
| 1.3 基本定义和引理 |
| 1.4 本文主要工作及创新点 |
| 1.4.1 本文主要工作 |
| 1.4.2 本文的创新点 |
| 第二章 求解对称鞍点问题的GASOR迭代法和MASOR迭代法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 求解对称鞍点问题的广义ASOR(GASOR)迭代法 |
| 2.2.1 广义ASOR(GASOR)迭代法 |
| 2.2.2 GASOR迭代法求解非奇异对称鞍点问题的收敛性 |
| 2.2.3 GASOR迭代法求解奇异对称鞍点问题的半收敛性 |
| 2.3 求解对称鞍点问题的修正ASOR(MASOR)迭代法 |
| 2.3.1 修正ASOR(MASOR)迭代法 |
| 2.3.2 MASOR迭代法求解非奇异对称鞍点问题的收敛性 |
| 2.3.3 MASOR迭代法求解奇异对称鞍点问题的半收敛性 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 求解Hermitian鞍点问题的IPPHSS迭代法和MPHSS迭代法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 求解Hermtian鞍点问题的改进PPHSS(IPPHSS)迭代法 |
| 3.2.1 IPPHSS迭代法求解非奇异Hermitian鞍点问题的收敛性分析 |
| 3.2.2 IPPHSS迭代法求解奇异Hermitian鞍点问题的半收敛性分析 |
| 3.2.3 IPPHSS预处理矩阵的谱性质 |
| 3.2.4 数值实验 |
| 3.3 求解Hermtian鞍点问题的修正PHSS(MPHSS)迭代法 |
| 3.3.1 MPHSS迭代法求解非奇异Hermitian鞍点问题的收敛性分析 |
| 3.3.2 MPHSS迭代法求解奇异Hermitian鞍点问题的半收敛性分析 |
| 3.3.3 MPHSS预处理矩阵的谱性质 |
| 3.3.4 数值实验 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章求解非Hermitian鞍点问题的GU-SHSS迭代法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 GU-SHSS迭代法 |
| 4.3 GU-SHSS迭代法求解非奇异非Hermitian鞍点问题的收敛性分析 |
| 4.4 GU-SHSS迭代法求解奇异非Hermitian鞍点问题的半收敛性分析 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 非对称鞍点问题的GVDPSS预处理子 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 广义变形DPSS(GVDPSS)预处理子 |
| 5.3 GVDPSS预处理矩阵P_(GV DPSS)~(-1)A的谱性质 |
| 5.4 预处理子PGV DP SS的实施过程和参数选取 |
| 5.5 数值实验 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 非对称鞍点问题的PGSS预处理子 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 参数化广义位移分裂(PGSS)迭代法和预处理子 |
| 6.3 PGSS迭代法求解非奇异非对称鞍点问题的收敛性 |
| 6.4 PGSS迭代法求解奇异非对称鞍点问题的半收敛性 |
| 6.5 PGSS预处理矩阵的谱分析 |
| 6.6 PGSS迭代法和PGSS预处理子的参数选取 |
| 6.7 数值实验 |
| 6.8 本章小结 |
| 第七章 总结和展望 |
| 7.1 全文总结 |
| 7.2 展望及未来工作 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成的学术论文及课题来源 |
| 致谢 |
（7）鞍点结构线性系统的迭代求解（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 鞍点结构线性系统的基本求解方法 |
| 1.2.1 Uzawa类迭代法 |
| 1.2.2 基于矩阵分裂的迭代法 |
| 1.2.3 预处理的Krylov子空间方法 |
| 1.2.4 求解奇异鞍点问题的迭代方法 |
| 1.3 本文主要研究内容、方法和创新点 |
| 1.4 本文结构安排 |
| 第二章 非奇异鞍点问题的有效迭代求解 |
| 2.1 产生于稳态Navier-Stokes方程的鞍点问题的SL预处理子 |
| 2.1.1 问题模型及SL预处理子简介 |
| 2.1.2 SL迭代法 |
| 2.1.3 SL预处理的矩阵的谱性质 |
| 2.1.4 SL预处理子的迭代实现 |
| 2.1.5 数值试验 |
| 2.2 广义鞍点问题的MHSS预处理子 |
| 2.2.1 MHSS预处理子简介 |
| 2.2.2 MHSS预处理子的迭代实现 |
| 2.2.3 MHSS迭代法 |
| 2.2.3.1 MHSS-I迭代法收敛性分析 |
| 2.2.3.2 MHSS-II迭代法收敛性分析 |
| 2.2.4 MHSS预处理的矩阵 |
| 2.2.4.1 MHSS-I预处理的矩阵的谱分析 |
| 2.2.4.2 MHSS-II预处理的矩阵的谱分析 |
| 2.2.5 数值试验 |
| 2.3 广义鞍点问题的NIU迭代法 |
| 2.3.1 NIU迭代法简介 |
| 2.3.2 NIU迭代法的改进的收敛性结果 |
| 2.3.3 NIU-SD迭代法 |
| 2.3.4 NIU-PCG迭代法 |
| 2.3.5 NIU-Mix迭代法 |
| 2.3.6 数值试验 |
| 2.4 鞍点问题的内外相结合分裂迭代方法 |
| 2.4.1 相关迭代方法简介 |
| 2.4.2 鞍点问题的APIU迭代法的变形 |
| 2.4.2.1 APIU-SOR迭代法的收敛性 |
| 2.4.2.2 APIU-SSOR迭代法的收敛性 |
| 2.4.3 鞍点问题的PU-STS迭代法 |
| 2.4.4 数值试验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 子矩阵为方阵的鞍点问题的有效迭代求解 |
| 3.1 产生于复线性系统的块二乘二线性系统的SSOR迭代法 |
| 3.1.1 求解块二乘二线性系统的SSOR迭代法简介 |
| 3.1.2 SSOR迭代法的收敛性 |
| 3.1.3 加速的SSOR迭代法的收敛性 |
| 3.1.4 数值试验 |
| 3.2 时谐抛物优化控制问题的结构化预处理子 |
| 3.2.1 问题模型及相关预处理子简介 |
| 3.2.2 结构化预处理子的算法实现 |
| 3.2.2.1 str-I的算法实现 |
| 3.2.2.2 str-II的算法实现 |
| 3.2.3 结构化预处理的矩阵的谱性质 |
| 3.2.4 数值试验 |
| 3.3 本章小节 |
| 第四章 奇异鞍点问题的有效迭代求解 |
| 4.1 奇异鞍点问题的PDPSS迭代方法 |
| 4.1.1 PDPSS迭代法简介 |
| 4.1.2 PDPSS迭代法的半收敛性 |
| 4.1.3 PDPSS预处理的矩阵的谱性质 |
| 4.1.4 RPDPSS迭代法 |
| 4.1.4.1 RPDPSS迭代法的收敛性 |
| 4.1.4.2 RPDPSS预处理的矩阵的谱性质 |
| 4.1.5 数值试验 |
| 4.2 奇异鞍点问题的GPU迭代方法 |
| 4.2.1 GPU迭代法简介 |
| 4.2.2 GPU迭代法的收敛性 |
| 4.2.3 GPU预处理子加速的GMRES方法 |
| 4.2.4 数值试验 |
| 4.3 本章小节 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望及未来工作 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（8）求解一类鞍点问题的两种改进的Uzawa方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 线性方程组介绍 |
| 1.2 鞍点问题综述 |
| 1.2.1 鞍点问题介绍 |
| 1.2.2 鞍点问题研究现状 |
| 1.2.2.1 定常迭代方法 |
| 1.2.2.2 Krylov子空间方法 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 1.4 本文符号说明 |
| 第2章 经典鞍点问题的定常迭代方法综述 |
| 2.1 SOR类方法 |
| 2.2 Uzawa类方法 |
| 2.3 HSS类方法 |
| 第3章 两种Uzawa方法 |
| 3.1 Uzawa-AOR方法的迭代格式 |
| 3.2 Uzawa-AOR方法的收敛性分析 |
| 3.3 Uzawa-SAOR方法的迭代格式 |
| 3.4 Uzawa-SAOR方法的收敛性分析 |
| 第4章 两种改进的Uzawa方法 |
| 4.1 改进的AOR迭代法 |
| 4.2 改进的Uzawa-AOR方法的迭代格式 |
| 4.3 改进的Uzawa-AOR方法的收敛性分析 |
| 4.4 改进的Uzawa-SAOR方法的迭代格式 |
| 4.5 改进的Uzawa-SAOR方法的收敛性分析 |
| 4.6 数值实验 |
| 第5章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文 |
（9）师范生线性方程组迭代法的教学实践（论文提纲范文）
| 0引言 |
| 1注重线性方程组迭代法构造的基本思想 |
| 2经典的迭代法[2] |
| 3经典迭代法的简单推导 |
| 4方法的进一步研究 |
| 5收敛性的研究 |
| 6结语 |
（10）求解四元数线性代数方程组的迭代算法研究（论文提纲范文）
| 附件 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 目录 |
| 符号说明 |
| 第一章 四元数与四元数矩阵概述 |
| 1.1 研究进展 |
| 1.2 基本概念与相关性质 |
| 1.2.1 四元数与四元数矩阵 |
| 1.2.2 四元数、四元数矩阵的相关命题 |
| 1.3 四元数与四元数矩阵的表示方法及性质 |
| 1.3.1 四元数的复表示及其性质 |
| 1.3.2 四元数矩阵的复表示及其性质 |
| 1.3.3 四元数矩阵的实表示及其性质 |
| 1.4 四元数矩阵研究的目的与意义 |
| 1.5 求解四元数矩阵方程的常用方法 |
| 1.5.1 基于复表示的四元数矩阵方程的求解 |
| 1.5.2 基于实表示的四元数矩阵方程的求解 |
| 第二章 解线性代数方程组的常用迭代方法和收敛性 |
| 2.1 迭代法概述 |
| 2.2 JACOBI 法 |
| 2.3 G-S 法 |
| 2.4 SOR 法 |
| 第三章 四元数实数化型线性方程组三种典型迭代算法研究 |
| 3.1 四元数线性代数方程组 Ax=b的等价实表示 |
| 3.2 R4J 迭代和 R4G-S 迭代 |
| 3.3 R4SOR 迭代 |
| 第四章 对两类特殊四元数线性代数方程组的求解 |
| 4.1 基于严格对角占优四元数系数矩阵的 Ax=b |
| 4.2 基于正定自共轭四元数系数矩阵的 Ax=b |
| 4.3 数值算例 |
| 4.4 进一步的研究方向 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间已发表或录用的论文 |
| 附录 1 四元数相关研究综述报告 |
| 附录 2 作者对着名数学家的认识：“中央研究院”院士、中国科学院院士许宝騄简介 |
| 附录 3 作者对上海交通大学数学系的一些认识：桃李芬芳 80 载，再创辉煌看今朝 |
| 附录 4 英译中：利用中位倍数法标化血清蛋白测量 |
四、SOR迭代法收敛的充要条件（论文参考文献）
- [1]对线性方程组迭代法的一些补充[J]. 雍龙泉. 高师理科学刊, 2021(07)
- [2]大规模MIMO系统中的低复杂度方法研究[D]. 谭红成. 电子科技大学, 2021(01)
- [3]求解大规模稀疏线性方程组的迭代方法的研究[D]. 吴思婷. 华东理工大学, 2021(08)
- [4]大规模MIMO系统的低复杂度检测算法研究[D]. 肖萍. 西安电子科技大学, 2019(02)
- [5]复对称线性方程组的迭代法及预处理研究[D]. 杨凤. 温州大学, 2019(01)
- [6]鞍点问题的迭代法和预处理技术研究[D]. 黄政阁. 西北工业大学, 2018
- [7]鞍点结构线性系统的迭代求解[D]. 梁兆正. 兰州大学, 2017(03)
- [8]求解一类鞍点问题的两种改进的Uzawa方法[D]. 李晨. 东北大学, 2017(06)
- [9]师范生线性方程组迭代法的教学实践[J]. 罗芳,康淑瑰,郭福日,王振芳. 数学教学研究, 2014(07)
- [10]求解四元数线性代数方程组的迭代算法研究[D]. 任佳菁. 上海交通大学, 2014(06)