一、对流扩散方程的一种显式有限体积-有限元方法（论文文献综述）
班亭亭[1]（2021）在《一类对流扩散方程（组）的两种数值解法研究》文中指出对流扩散方程（组）在力学、物理和环境科学等领域中都有应用,它可以描述质量、传热过程、污染物在水中的分布等一些扩散现象.由于对流扩散方程（组）较难求得解析解,而传统的数值方法在求解对流扩散方程（组）的过程中已经展示了它们的优势,因此数值方法的研究对求解对流扩散方程（组）仍然具有一定意义.本文主要研究两种具有高精度的数值方法,即Fourier谱方法和重心Lagrange插值配点法,通过不同初始条件和边界条件对4个（1+1）维对流扩散方程、1个（1+1）维分数阶对流扩散方程、2个（2+1）维对流扩散方程和2个（2+1）维分数阶扩散方程组进行数值模拟,通过与其它几种数值方法比较和数值结果说明了这两种方法具有较高的精度,说明了Fourier谱方法和重心Lagrange插值配点法的有效性.特别地,本文使用Fourier谱方法模拟了（2+1）维分数阶扩散方程组,通过给出不同的初始条件和参数得到了若干斑图,证明了数值结果的可靠性,说明了Fourier谱方法不仅对整数阶对流扩散方程有效,而且对分数阶扩散方程也有良好的数值结果.其次,将无网格方法应用到了实际模型中,即用无网格方法求解一维氮气置换模型,通过分析和比较可以得到对氮气浓度分布影响的因素,知道不同直径材料的管线会对氮气浓度分布产生影响,而且在不同时间、不同湍流扩散系数的影响下会使氮气浓度分布发生变化,这在实际应用中具有一定意义,为以后的研究垫定了基础.
赵永良[2]（2021）在《时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究》文中进行了进一步梳理分数阶微积分至今已在粘弹性力学、系统控制、图像处理和金融工程等诸多领域取得重要应用,但令人遗憾的是只有少数分数阶偏微分方程能够求得解析解。因此,分数阶偏微分方程的数值解法受到许多学者的关注。由于分数阶微分算子的非局部性,分数阶偏微分方程的数值离散系统往往是稠密的,这使得传统解法的求解效率大幅降低。因此,开发出高效、可靠的算法来求解这些离散系统具有重要意义。针对几类分数阶偏微分方程的数值离散系统,本文将挖掘和利用其结构性质来设计高效的快速求解策略,主要内容可概括如下:1.分别对一维和二维的带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程引入有限差分格式,并证明它们的稳定性和收敛性。根据二维离散系统的结构,设计出相应的快速求解算法。数值实验被用于验证所提数值格式和快速算法的有效性。2.由时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的研究。在时间分数阶移动/固定对流-扩散方程方程的有限差分格式基础上,将所有时间层的数值解排列成一个列向量,这样便会得到一个一次性系统。通过对此系统进行求解,所有时间层的数值解可以同时获得。根据此一次性系统的系数矩阵结构,设计出两种预处理子来加速Krylov子空间方法对它的求解。此外,还对这两种预处理子的一些性质进行讨论。数值实验被用来验证所提快速算法的有效性。3.建立时空分数阶对流-扩散方程的有限差分格式,并证明它的稳定性和收敛性。此外,还将此离散技术推广到求解非线性的时空分数阶对流-扩散方程。通过使用Krylov子空间方法来求解此离散系统,能够快速获取时空分数阶对流-扩散方程的数值解,并且设计出一种循环预处理子来加速Krylov子空间方法的收敛。数值实验结果表明这快速算法比传统的直接解法更加高效。4.关于由时空分数阶扩散方程导出的一次性系统的研究。基于该一次性系统的特殊结构,采用Krylov子空间方法对该系统进行求解,并设计预处理子来加速其收敛。在该预处理子的求逆中,会涉及到Toeplitz矩阵求逆。利用一种Toeplitz矩阵求逆公式来计算此Toeplitz矩阵的逆,并提出一个预处理子对其进行加速。数值实验结果表明所提的快速算法对求解此类一次性系统是十分有效且可靠的。
杨录峰[3]（2021）在《几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究》文中提出谱方法因其具有谱精度,被广泛的用于各种问题的数值求解之中,但对于奇异摄动问题,经典谱方法需要大量节点才能刻画边界层的变化规律,得到高精度的数值解.为了改善奇异摄动问题数值模拟的效率,一部分学者从减轻问题的奇异性出发,将问题的解分解为正则分量和奇异分量分别求解;另一部分致力于改进数值方法,使网格节点更多的向边界层聚集,以适应奇异摄动问题求解的需要.本文结合这两类处理方法的优点,提出了基于奇异分离技术的谱方法.第一章介绍了奇异摄动问题的研究背景、研究进展以及本文的研究问题和主要工作.第二章考虑二阶奇异摄动问题,首先利用渐近展开理论结果预先确定边界层的位置和宽度,即确定sinh变换的参数,使Chebyshev-Gauss-Lobatto节点向边界层聚集,然后利用奇异分离技术将奇异摄动问题分解为弱奇异辅助边值问题和确定边界层校正函数的问题.利用含sinh变换的有理谱方法求解弱奇异摄动边值问题,得到解的正则分量,利用边界条件和问题的特征值,显式确定奇异校正函数,并给出了误差估计式.对于变系数问题,利用奇异摄动分离构造校正函数,然后利用谱方法求解正则分量及奇异分量的待定参数,进而组合得到原问题的数值解,最后通过数值实验,验证理论结果.第三章考虑二阶奇异摄动方程组问题,利用基于奇异分离技术的有理谱方法分别求解弱耦合反应扩散问题和强耦合对流扩散问题,分别推导并证明了通解表达式,然后应用有理谱方法求解弱奇异摄动问题确定原问题的一个特解,并利用边界条件确定了奇异校正函数的显式表达式,并证明了该方法当很小时几乎达到谱精度.对于变系数奇异摄动方程组,我们同样利用系数矩阵的特征值和相应的特征向量构造校正函数刻画奇异分量,然后利用谱方法求解弱奇异方程组,得到正则分量与奇异分量的参数,组合奇异分量与正则分量得到问题的解.最后利用数值算例验证了理论分析的结果.第四章考虑含不连续源项或界面条件的奇异摄动问题的数值模拟.将整个区间上的奇异摄动问题分解为左、右子问题,然后对每个子问题采用有理谱方法求解弱奇异性问题确定正则分量,利用边界条件和界面条件确定奇异校正函数的参数,最后利用缝接法得到原问题的解.数值实验验证了该方法能够高精度的求解此类问题.第五章对于抛物型奇异摄动问题和时间分数阶奇异摄动问题.利用Laplace变换法将非定常微分方程变换为频域上的关于空间变量的常微分方程边值问题,然后利用基于奇异分离技术的谱方法求解含参数的奇异摄动边值问题,利用最后利用Talbot方法,数值求解逆Laplace变换得到原问题的数值解.Laplace变换的使用规避了时间演进中对时间步长的限制要求.数值实验验证该方法具有高精度.
闫凤娜[4]（2020）在《非线性方程间断有限元方法的误差估计和保界格式》文中研究说明本论文主要研究有界区域中非线性偏微分方程的间断有限元方法。我们首先证明了 Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程局部间断有限元方法的能量稳定性和最优误差估计。其次,基于Karush-Kuhn-Tucker（KKT）限制器,我们通过拉格朗日乘子分别构造了反应欧拉方程和非线性退化抛物方程高阶保界的隐式时间离散的间断有限元和局部间断有限元格式。论文的第一部分,我们研究了 Allen-Cahn方程二阶和三阶半隐式谱延迟校正（SDC）时间离散的局部间断有限元格式的能量稳定性和最优误差估计。由于SDC方法是基于一阶凸分裂格式,因此时间离散方法对非线性项的隐式处理会导致每个时间层的方程组都是非线性的,增加了理论分析的难度。对于结合二阶和三阶SDC方法的局部间断有限元离散格式,我们利用有限维空间中的不动点定理证明了数值解的存在唯一性。同时半隐式SDC格式中所涉及的迭代和积分也增加了理论分析的难度。与不包括最左端点的龙格库塔型半隐式格式相比,这里的SDC格式将最左端点作为正交节点。这使得SDC格式测试函数的选取更加复杂,能量方程的构建更加困难。我们提供了两种不同的方法来克服非线性项带来的困难。通过仔细选择测试函数,在时间步长τ仅需要一个正的上限并且与网格大小h无关的意义下,我们得到了二阶和三阶数值格式的能量稳定性和最优误差估计。数值算例验证了我们理论结果的正确性。论文的第二部分,我们主要研究了具有浓度相关迁移率的Cahn-Hilliard方程的一个无条件稳定的局部间断有限元格式的误差分析。我们使用的时间离散是基于不变能量正交化（IEQ）方法,因此我们的全离散格式在每个时间步都是一个线性代数系统。这里误差估计的主要困难是在局部间断有限元格式中缺少对单元边界上某些跳跃项的控制。我们需要特殊处理Cahn-Hilliard方程的初始条件和非恒定迁移率项。对于初始条件的误差估计,我们用一个等价光滑的全局Lipschitz连续函数代替非线性项。这种技巧仅用于初值问题。对于非恒定迁移率项的分析,我们充分利用半隐式时间离散方法的优势,通过数学归纳法得到某些数值变量在L∞-范数下的有界性。我们得到了全离散格式的最优误差估计并给出了数值算例验证此结论。论文的第三部分,我们构造了反应欧拉方程高阶保界的隐式时间离散的间断有限元格式。在反应问题中,由于流体动力时间尺度与反应时间尺度存在较大差异,所以数值计算中的时间步长往往会受到很大的限制。此外,反应问题中的密度和压强都是非负的,质量分数应该在0到1之间。这里我们用分步法分别处理对流问题和反应问题。关于反应欧拉方程,我们主要有三个贡献。首先,我们采用高阶对角隐式龙格库塔（DIRK）方法进行时间离散。与显式时间离散方法相比,隐式方法大大增加了数值计算中具有刚性源项方程的时间步长。其次,在KKT系统的基础上,我们利用拉格朗日乘子将隐式时间离散的数值离散格式与保界约束条件相结合,从而保持数值解的上界0和下界1。最后,由于刚性源项,我们将Harten的子单元分辨技术（SR）推广到反应问题隐式时间离散的间断有限元方法中。数值结果表明,保界DIRK间断有限元格式对于光滑解是高阶精度的,对不连续刚性问题的数值模拟在相对粗的网格中是相当有效的。论文的第四部分,我们针对非线性退化抛物方程提出了一个熵耗散的高阶DIRK局部间断有限元格式。对于非线性抛物方程的一些问题,目前已证明当时间趋于无穷大时,瞬态解会收敛到稳定状态。我们利用简单的交替数值流通量,构造了具有高阶、熵耗散、保稳态和可捕捉长时间行为等优点的隐式DIRK局部间断有限元格式。隐式时间离散方法大大增加了数值格式稳定性所需的时间步长。这里较大的时间步长和简单的交替数值通量极大地简化了数值计算。我们从理论上证明了半离散格式的熵耗散性及一阶全离散格式的熵耗散性和稳态保持性。为了保证数值解的正定性和质量守恒性,我们采用了 KKT限制器,通过拉格朗日乘子将正定不等式约束和质量守恒等式约束与高阶DIRK局部间断有限元格式相耦合。数值结果表明,保正的DIRK局部间断有限元格式具有较高的精度且是高效的。
高静[5]（2020）在《时空分数阶偏微分方程的有限差分/元方法及其快速算法》文中指出分数阶偏微分方程相较于整数阶偏微分方程在模拟异常扩散运动或长程空间相互反应和记忆效应等具有挑战性的现象中提供了更为有效的模型[57,60,68],并引起了广泛的研究（see,e.g.,[7,16,17,21,22,28,35,36,38,39,47,56,75,86]）.文献中的大多数工作都集中在利用分数阶偏微分方程来模拟异常扩散运动,包括次扩散运动和超扩散运动或两者的结合。对于一维时空分数阶对流方程来说,Meerschaert在文章[59]证明了通过直接截断Grunwald-Letnikov分数阶导数得到的时空分数阶对流方程的隐式差分逼近是不稳定的。其原因是数值近似只需左边界条件即可唯一确定数值解,而连续问题的解析解需要由区间两端的边界条件唯一确定。与分数阶扩散问题不同,在两个边界条件产生的锋面相对移动的意义下,双边分数阶对流问题的两个边界条件是相互抵消的,就像整数阶对流扩散方程的拐点问题一样。这种现象使得数值计算方面存在一些困难,如假振荡、低振荡、超振荡以及其他数值计算困难等。基于这些考虑,我们遵循[50,99,100,101,103]中的思想,构造了一种空间分数阶和时空分数阶对流方程的满足保界性质的数值方法,使得所得到的数值近似能够消除假振荡和低振荡、超振荡现象。由于分数阶微分算子包含具有奇异性的积分算子,空间分数阶偏微分方程的数值方法通常产生稠密或满的刚度矩阵,此外,由于时间分数阶偏微分方程的记忆效应,时间分数阶偏微分方程的数值离散产生的数值格式包含了所有历史时间步的数值解。因此,计算量和存储量的显着增加使得分数阶偏微分方程模型的实际应用非常困难。针对空间分数阶导数采用坐标方向形式的多维空间分数阶偏微分方程的数值格式,利用其刚度矩阵的类Toeplitz结构和刚度矩阵的张量积结构,提出了一种快速数值方法,该方法在每次Krylov子空间迭代中将存储量从O（N2）降低到O（N）,计算量从O（N3）降低到O（N log N）.一般情况下,分数阶偏微分方程的空间导数采用分数阶方向导数形式。而分数阶方向导数形式的分数阶方程的数值方法产生的刚度矩阵比坐标形式的相应的刚度矩阵在结构上要复杂得多。换句话说,空间分数阶方向导数偏微分方程模型比坐标形式的空间分数阶偏微分方程模型在物理上更具一般化,更难处理。本文结构如下:第一章简要介绍了分数阶导数算子的历史和一些基本定义。然后给出了与本文的快速算法相关的一些特殊矩阵。第二章和第三章分别阐述了一维空间分数阶及时空分数阶偏微分方程和二维空间分数阶及时空分数阶偏微分方程的显式有限差分方法,证明了它的保界性质和误差估计。并且提出了该格式的一种快速实现方法,可以显着降低计算量和存储量。同时利用数值实验来证实理论分析的结果及快速实现的性能。第四章分析了包含空间分数阶方向导数的时空分数阶偏微分方程的一种快速Galerkin有限元方法,证明了该方法的误差估计。并给出了快速数值实现方法,这种方法大大降低了计算过程中每次迭代的计算量,从O（MN3+M2N）降低到O（MN log（MN））.此外,快速实现将存储量从O（MN2）降低到O（N log M）.通过数值实验,本文验证了该章理论分析的正确性,并对快速实现的性能进行了研究。
张晨晨[6]（2020）在《承压含水层渗流偏微分方程正问题和反问题的数值解法》文中指出渗流是指流体通过多孔介质的流动。承压含水层中流体的运动规律可以由一个非稳态扩散方程描述。虽然对具有简单规则几何形状的含水层的渗流问题,可以用解析方法求得其精确解,但工程中多孔介质的几何形状往往比较复杂,很多情况下无法通过解析方法获得压头值的解析解。近几十年来,随着计算机的发展,研究数值模拟多孔介质中渗流问题的数值方法已经成为该领域的热点问题之一。在实际问题中,渗透系数有时是随着空间和时间变化的函数,通过测量得到的压头值和源汇反求渗透系数,也是具有重要工程应用价值的研究课题。本文首先比较了用于求解非稳态渗流问题的经典的有限体积法的数值格式,指出了这些格式的优点和缺点。根据离散方程中加权参数的不同,这些格式可分为显式格式、Crank-Nicolson格式（以下简称C-N格式）和全隐格式。显式格式和全隐格式的计算精度只有一阶截差,C-N格式具有二阶计算精度,故而通过合适地选取时间步长和空间步长,以上三种格式中C-N格式的计算精度最高。本文中的数值算例很好地说明了这一点。对于第一类边界条件的渗流问题,边界处的偏导数值可以通过构造镜像点的方法得到;对于边界区域给定第二类边界条件的情形,边界节点处的偏导数值由边界条件直接给定,而这恰恰体现了有限体积法的优势所在。接下来,本文应用一种高阶格式求解了非稳态渗流偏微分方程。该方法和有限体积法类似,首先关于每个节点的控制体积和时间变量对渗流方程积分,为了离散时间积分引入待定的加权参数。然后得到格式的截断误差,令截断误差尽量小,得到了时间步长和空间步长平方的比值,并得到了待定加权参数的确切数值。数值算例表明,对于第一类边界条件的渗流问题,高阶格式的计算效率和精度都优于C-N格式。最后,本文将有限体积法中的显式格式和全隐格式进行改进,在已知通过测量得到的压头值和源汇的情况下,应用改进的显式格式和全隐格式求解渗透系数。反问题的数值算例表明,不论是对于第一类边界条件,还是对于第二、第三类边界条件,取合适的网格数目,在不考虑测量误差的前提下,都可以得到比较准确的渗流系数。
谢悦[7]（2020）在《浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用》文中研究指明在处理突发水污染环境事件中,污染物在河流中的分布情况可以用对流扩散方程来描述。同样很多其他环境相关的问题也都可以转化为对流扩散方程的问题进行分析和解决。因此,对流扩散方程在环境监测以及对污染物的预测和处理领域有着十分重要的意义。但是,很多对流扩散方程问题难以找到解析解,需要对其进行数值求解,而对于突发性水污染事件而言,精确的通过数值计算得到污染物精确扩散位置以及浓度的同时,时效性也是不可或缺的。针对浓度对流扩散方程的数值求解问题,本文主要研究内容如下:文章的第一部分首先针对浓度对流扩散方程进行高精度离散,对内点构造两层八点隐格式,进而,构造与内点格式精度相匹配的边界层差分格式,对浓度对流扩散方程的时间和空间项分别进行相应阶数的泰勒展开,使用待定系数法求出差分格式的差分系数,得到浓度对流扩散方程内点以及边界的时间三阶,空间六阶精度隐式差分格式。进而,对一般情况下的一维高精度差分格式进行Von Neumann稳定性分析,随后对相应算例进行数值验证。最终证明了本文构造的所有格式均满足时间三阶,空间六阶的精度要求,且在一定条件下稳定,稳定性范围宽广,同时一定范围内可以高精度计算对流系数较大的对流占优扩散方程问题。文章的第二部分首先基于第一章构造的高精度差分格式对所得到的三对角方程组提出了一种新的并行计算方法。在p个计算机处理核心分组并行处理的基础上可以并行计算,使得整体并行计算的效率更高,数值算例表明:该并行方法简单易行,解决了隐格式的不易并行计算的问题,并且加速效果随着空间节点总数以及分组数的增加变得更加明显,加速比和方程分块数基本满足线性关系,在保持高精度求解的基础上实现了优良的并行效果。值得注意的是在求解过程中,组与组交叉的未知量可以形成块三对角方程,同样可以使用该方法进行并行计算,可以更大程度上的提高并行求解的效率。因此,本文提出的并行方法适用于二维乃至更高维度的对流扩散方程的并行计算,本文以二维对流扩散方程数值求解为例,给出了本方法和串行方法的计算时间对比分析。加速效果随着空间节点总数以及分组数的增加变得更加明显,且能够很好的保持求解过程的精度需求。文章第三部分对并行计算过程中使用的并行语句进行深入分析,揭示了其循环中的系统周转时间、循环控制和计算规模对于计算效果的影响,通过采用内存映射的方法,高效访问磁盘上由于太大而无法保留在内存中或需要花太长时间而无法加载的大数据集,解决了大型矩阵的数据通讯时间影响整提计算速度的问题。利用MEX混合编译和MATLAB的扩展特性,同时结合C语言进行编码,将计算中的大型循环计算使用C/C++和MATLAB混合编译来完成。高效提升求解大型三对角方程时的并行效果。文章第四部分给出了本文所构造的高精度差分格式在实际环境问题中的应用。分别以上游围油栏作为第一类固定边界,下游收油装置作为第一类移动边界,模拟对河道溢油事故的处理过程。通过采用本文构建的一维浓度对流扩散方程高精度差分格式,数值模拟了溢油发生时,围油栏和收油装置作处理装置时溢油浓度的变化。
赵媛媛[8]（2020）在《求解对流扩散方程的一种边界型方法研究》文中指出对流扩散方程是一类基本的运动方程,方程中包含扩散项及对流项,可用来描述河流污染、大气污染、核污染中污染物质的分布,流体的流动和流体中传热等众多物理现象。但对于这类方程,除了极少数简单情形,大部分问题目前还无法求得精确解,所以利用数值方法进行数值模拟是求解这类问题的主要方法,构造精确、稳定和高效的数值方法成为研究这类问题的重要内容。本文提出了一种边界型方法—半边界法用于数值求解线性及非线性对流扩散方程,并通过与其他数值方法的比较展示了半边界法在求解精度及效率方面的优势。半边界法的主要思想是利用混合变量将微分方程降阶,通过积分运算推导出相邻节点上变量之间的关系,进而推导出求解域内任意节点上变量与一半边界处未知量的关系,利用边界条件解出边界上的未知量后,再利用前述关系式得到任意节点上的全部变量。该方法中未知量只存在于一半的边界条件上,是边界型方法。值得注意的是,半边界法虽然属于边界型方法,但与传统的边界元法完全不同,在建立离散方程时它不需一个基本解,而是直接建立含有混合变量的微分方程。相比于有限体积法,在网格数量相同时半边界法中未知量少,对于一维问题求解过程中涉及到的计算矩阵只有二阶,不必要去求解大型的矩阵方程,减小了计算量并且节省计算所需内存,可以仅求解指定位置节点上的变量值,不需要全部求解。另外,新引入的未知量存在物理意义,使得半边界法可以求得全局解。针对对流扩散方程,对流占优问题一直是值得关注的问题之一。这类问题具有双曲性质,其解函数有大梯度变化的边界层,并且表征对流占优的Peclet数越大,边界层越薄。传统的数值计算方法在求解此类问题时,在边界层区域可能会出现数值振荡,无法得到准确的数值结果。对于对流占优问题,在相同节点数的情况下,利用半边界法求解能够得到较有限体积法更加准确的数值解,另外,通过利用不均匀节点分布减小局部Peclet数,可以在保证计算效率的基础上得到更加准确的数值解。对于对流占优问题,半边界法在计算精度上存在优势。另外,许多研究都是基于常系数模型,这样在求解时非常便利,但在描述许多实际工程问题时,对流扩散方程中的系数往往不是常数,甚至有可能出现间断系数。间断系数是变系数问题的一种特殊情况,由于间断处的不连续,对于很多方法而言在间断处需要设置连续性条件,这就使得其需要求解的方程增多,整体矩阵增大,计算效率下降。但对于半边界法而言,间断处无需特殊设置连续性条件,这对于求解间断模型的问题具有优势。应用于实际问题中的对流扩散方程并非都是线性的,很多方程的系数都与解有一定的关系,因此会出现非线性对流扩散方程的形式。Burgers方程是一类典型的非线性对流扩散方程,具有非线性对流项,可用作不可压Navier-Stokes方程的模型方程。由于非线性方程的复杂性,对流项的非线性往往使得解在某些区域产生剧烈的梯度,求其数值解就更加困难。针对非线性对流扩散问题,半边界法引入迭代算法,将非线性的系数利用迭代值近似,其他的求解分析步骤就与线性方程相同。通过对非线性对流扩散方程的具体问题进行求解,半边界法能够获得准确的收敛解,针对对流占优情况下的非线性对流扩散方程,利用非均匀网格同样可以获得稳定的高精度解。
张燕美[9]（2020）在《对流扩散方程保正格式与平衡辐射扩散方程数值方法》文中研究表明本论文的主要内容包括三部分:（1）非定常对流扩散方程保正格式的构造及其解的存在性证明;（2）含守恒型非线性能量时间导数项的扩散问题全隐差分格式的数值分析及平衡辐射扩散方程的非线性迭代方法;（3）非线性扩散问题全隐有限体积格式分析及其在基于Saha电离模型的平衡辐射扩散方程中的应用.在第一部分中,发展了非定常对流扩散方程的非线性保正格式.通过结合采用引入网格边中点辅助未知量、离散通量非线性系数光滑化处理、对流算子修正校正等技术,设计高保真且适于理论分析的保正格式.该格式为单元中心型的,能保持局部通量连续,并适用于任意星形多边形网格.我们利用Brouwer不动点定理证明了格式解的存在性.数值结果表明该格式是保正的,且具有二阶精度.在第二部分中,首先考虑含守恒型非线性能量时间导数项的扩散问题离散格式,发展了新的论证技术,克服非线性能量时间变化项带来的困难,对全隐离散差分格式给出了解的存在性、唯一性、收敛性、稳定性的严格证明.然后讨论了求解平衡辐射扩散问题全隐（FI）格式的非线性迭代方法.结合Picard因式分解迭代法PF,研究了三种新的非线性迭代方法,即Picard-Newton因式分解迭代法（PNF）,Picard-Newton迭代法（PN）和无导数的Picard-Newton因式分解迭代法（DFPNF）.利用归纳论证技术处理问题的强非线性,对四种迭代方法的基本性质进行了严格的理论分析.结果表明,它们均具有一阶时间和二阶空间收敛精度,并且保持了解的正性;PF迭代法和三种Newton型迭代法的迭代序列分别以线性和二次速度收敛于FI格式的解.数值实验验证了理论分析的结果,表明这些Newton型方法可实现有效的加速求解.在第三部分中,首先讨论了非线性扩散问题的全隐有限体积格式,通过对扩散系数加权调和平均的非线性离散扩散算子的细致估计,分析了该离散格式的相容性.运用Brouwer不动点定理证明了格式解的存在性,利用存在性给出的离散解的若干有界性估计,并利用一系列新的论证技巧,证明了格式的收敛性.然后将全隐有限体积格式应用于求解基于Saha电离模型的平衡辐射扩散方程.基于问题的特点,在迭代格式的设计中主要讨论了时间导数项的离散,将时间导数项分为两部分来考虑,给出三种迭代方法:Picard因式分解迭代+Picard迭代（PF+Picard）,Picard-Newton因式分解迭代+PN迭代（PNF+PN）,PN迭代+PN迭代（PN+PN）;对于空间导数项,采用Picard迭代.数值实验表明所构造的三种迭代格式均具有二阶空间收敛精度.
韩佳琦[10]（2020）在《含有一般容量项的非线性对流扩散方程的全隐有限元方法和全隐特征修正有限元方法》文中认为本文对于含有一般容量项的非线性对流扩散方程,研究其全隐有限元离散格式的基本性质及其迭代加速求解方法,以实现问题的快速精确求解.从一维问题出发,根据对流是否占优,分两种情况展开研究.在扩散占优的情况下,利用全隐标准有限元离散求解;在对流占优的情况下,设计全隐特征修正有限元离散求解,以避免出现非物理的数值振荡和数值弥散.并采用“线性化-离散”技术,分别设计了与这两种非线性有限元格式匹配的Picard-Newton迭代加速方法,来实现非线性问题的高效求解.通过引入有限元投影和发展新的论证技术,对离散格式和迭代方法的基本性质进行了严格的理论分析.证明了非线性标准有限元格式的解存在唯一、绝对稳定,且具有一阶时间和最优阶空间L∞（L2）收敛性;其Picard-Newton迭代方法具有相同的收敛精度,且Picard迭代和Newton迭代分别具有线性和二次收敛速度.并证明了非线性特征有限元格式解的存在性与一阶时间和最优阶空间L∞（L2）收敛性;其Picard-Newton迭代方法具有相同的收敛精度,且Picard迭代和Newton迭代分别具有线性和超线性收敛速度.对于全隐有限元离散格式在均匀网格上进行数值实验,验证了理论分析结果.文中思想和方法可向多维情形和二阶时间精度格式推广.
二、对流扩散方程的一种显式有限体积-有限元方法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、对流扩散方程的一种显式有限体积-有限元方法（论文提纲范文）
（1）一类对流扩散方程（组）的两种数值解法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究目的与意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文研究的主要内容 |
| 第二章 方法介绍 |
| 2.1 Fourier谱方法 |
| 2.1.1 Fourier变换 |
| 2.1.2 FFT和IFFT函数 |
| 2.1.3 Fourier微分矩阵 |
| 2.1.4 Fourier谱方法求解偏微分方程的步骤 |
| 2.2 重心插值配点法 |
| 2.2.1 重心Lagrange插值 |
| 2.2.2 直接线性化迭代法 |
| 2.2.3 重心插值及其偏微分矩阵 |
| 2.2.4 边界条件的离散公式和施加方法 |
| 2.3 本章小结 |
| 第三章 一类对流扩散方程的Fourier谱谱方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数值算例 |
| 3.3 小结 |
| 第四章 一类对流扩散方程的重心插值配点法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 方法介绍 |
| 4.3 数值算例 |
| 4.4 应用举例 |
| 4.4.1 引言 |
| 4.4.2 数学模型及求解 |
| 4.4.3 数值实验 |
| 4.5 小结 |
| 第五章 一类分数阶扩散方程组的Fourier谱谱方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.3 分岔分析 |
| 5.4 振幅方程 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果 |
（2）时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 时间和时空分数阶偏微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.1.1 时间分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.1.2 时空分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.2 本文研究动机与主要内容 |
| 第二章 带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程的二阶隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 方程(2-1)的一种隐式差分格式 |
| 2.2.1 二阶差分格式 |
| 2.2.2 稳定性分析与误差估计 |
| 2.3 方程(2-1)的二维情形 |
| 2.3.1 方程(2-1)的一个隐式差分格式 |
| 2.3.2 数值离散格式(2-11)的稳定性和收敛性分析 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 一维问题 |
| 2.4.2 二维问题 |
| 2.4.3 预处理迭代法求解(2-11) |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的预处理迭代算法研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 有限差分离散和一次性系统 |
| 3.2.1 时间步进格式 |
| 3.2.2 一次性系统 |
| 3.3 两个预处理子 |
| 3.3.1 块二对角预处理子 |
| 3.3.2 块阶梯预处理子 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 时空分数阶对流-扩散方程的一种快速二阶隐式差分逼近 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 时空分数阶对流-扩散方程的一个隐式差分格式 |
| 4.2.1 时空分数阶对流-扩散方程的数值离散 |
| 4.2.2 隐式差分格式的稳定性和收敛性分析 |
| 4.2.3 非线性时空分数阶对流-扩散方程 |
| 4.3 离散系统的循环预处理子 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 收敛阶的验证 |
| 4.4.2 快速算法实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 时空分数扩散方程导出的块下三角Toeplitz系统的快速求解策略 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 有限差分离散及块下三角Toeplitz系统 |
| 5.2.1 时间步进格式 |
| 5.2.2 块下三角Toeplitz系统 |
| 5.3 两个预处理子以及谱分析 |
| 5.3.1 块二对角Toeplitz预处理子 |
| 5.3.2 斜循环预处理子 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文工作的总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A 第二章的补充实验 |
| 附录B 第四章的补充实验 |
| 附录C 第四章的PGPBi COR(3,1)算法 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（3）几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 奇异摄动问题 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 渐近方法 |
| 1.2.2 数值方法 |
| 1.3 本文的工作 |
| 第2章 二阶奇异摄动边值问题 |
| 2.1 预备知识 |
| 2.1.1 有理谱方法 |
| 2.1.2 Sinh变换 |
| 2.1.3 奇异分离技术 |
| 2.2 渐近分析 |
| 2.2.1 反应扩散方程 |
| 2.2.2 对流扩散反应方程 |
| 2.3 误差分析 |
| 2.3.1 最值原理 |
| 2.3.2 误差估计 |
| 2.4 算法实现 |
| 2.4.1 反应扩散方程 |
| 2.4.2 对流扩散反应方程 |
| 2.5 变系数问题 |
| 2.5.1 变系数对流扩散问题 |
| 2.5.2 变系数反应扩散问题 |
| 2.6 数值实验 |
| 2.7 小结 |
| 第3章 奇异摄动方程组问题 |
| 3.1 渐近分析 |
| 3.2 常系数奇异摄动方程组问题 |
| 3.2.1 反应扩散型问题 |
| 3.2.1.1 奇异分离技术 |
| 3.2.1.2 RSC-SSM算法 |
| 3.2.1.3 误差分析 |
| 3.2.2 对流扩散型问题 |
| 3.2.2.1 奇异分离技术 |
| 3.2.2.2 RSC-SSM算法 |
| 3.2.2.3 误差分析 |
| 3.3 变系数问题 |
| 3.3.1 反应扩散型问题 |
| 3.3.2 对流扩散型问题 |
| 3.3.3 对流扩散反应型问题 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 含界面条件的奇异摄动问题 |
| 4.1 反应扩散问题 |
| 4.1.1 渐近分析 |
| 4.1.2 RSC-SSM方法 |
| 4.2 对流扩散问题 |
| 4.2.1 渐近分析 |
| 4.2.2 RSC-SSM方法 |
| 4.3 数值实验 |
| 4.4 小结 |
| 第5章 非定常奇异摄动问题 |
| 5.1 抛物型奇异摄动问题 |
| 5.1.1 Laplace变换 |
| 5.1.2 数值逆Laplace变换 |
| 5.1.3 数值实验 |
| 5.2 时间分数阶奇异摄动问题 |
| 5.2.1 分数阶微积分 |
| 5.2.2 Laplace变换 |
| 5.2.3 数值实验 |
| 5.3 小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 本文工作的总结 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（4）非线性方程间断有限元方法的误差估计和保界格式（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 简介 |
| 1.1 间断有限元方法 |
| 1.2 KKT限制器 |
| 1.3 本文工作 |
| 第2章 预备知识 |
| 2.1 常用记号和内积空间 |
| 2.2 有限元空间 |
| 2.3 投影及其相关性质 |
| 2.4 时间离散方法 |
| 2.4.1 谱延迟修正方法 |
| 2.4.2 对角隐式龙格库塔方法 |
| 2.5 半光滑牛顿方法 |
| 第3章 Allen-Cahn方程高阶隐式时间离散的局部间断有限元方法的稳定性及误差分析 |
| 3.1 研究背景 |
| 3.2 二阶SDC-LDG格式 |
| 3.2.1 全离散数值格式 |
| 3.2.2 解的存在唯一性 |
| 3.2.3 稳定性 |
| 3.2.4 误差分析 |
| 3.3 三阶SDC-LDG格式 |
| 3.3.1 全离散数值格式 |
| 3.3.2 解的存在唯一性 |
| 3.3.3 稳定性 |
| 3.3.4 误差分析 |
| 3.4 数值结果 |
| 3.4.1 精度测试 |
| 3.4.2 格式稳定性需要的时间步长与ε满足的关系 |
| 3.5 本章总结 |
| 第4章 Cahn-Hilliard方程无条件稳定的局部间断有限元方法的误差分析 |
| 4.1 研究背景 |
| 4.2 全离散LDG格式 |
| 4.2.1 线性化的间断有限元格式 |
| 4.2.2 无条件能量稳定性 |
| 4.3 初始条件的误差估计 |
| 4.4 主要结果 |
| 4.4.1 误差估计 |
| 4.4.2 误差方程 |
| 4.4.3 辅助结果 |
| 4.4.4 定理4.4的证明 |
| 4.5 数值结果 |
| 4.6 本章小节 |
| 第5章 反应欧拉方程高精度保界隐式时间离散格式 |
| 5.1 研究背景 |
| 5.2 隐式时间离散的DG方法 |
| 5.2.1 分步法 |
| 5.2.2 半离散DG格式 |
| 5.2.3 全离散DIRK-DG格式 |
| 5.3 保界DG离散格式 |
| 5.3.1 具有保界约束条件的DG格式 |
| 5.3.2 齐次方程的限制条件 |
| 5.3.3 反应方程使用Harten's SR技术的高阶隐式格式 |
| 5.4 求解半光滑KKT方程的牛顿方法 |
| 5.5 刚性多物种爆炸问题的算法 |
| 5.6 数值算例 |
| 5.6.1 欧拉方程 |
| 5.6.2 反应欧拉方程 |
| 5.7 本章小结 |
| 第6章 非线性退化抛物方程的熵耗散高阶隐式时间离散格式 |
| 6.1 研究背景 |
| 6.2 半离散LDG格式 |
| 6.2.1 空间上的LDG离散 |
| 6.2.2 熵耗散性 |
| 6.3 隐式时间离散的LDG格式 |
| 6.3.1 向后欧拉LDG格式 |
| 6.3.2 稳定状态的保持 |
| 6.3.3 高阶DIRK-LDG离散格式 |
| 6.4 高阶保正的DIRK-LDG格式 |
| 6.5 数值算例 |
| 6.5.1 精度测试 |
| 6.5.2 双势阱非线性扩散方程 |
| 6.5.3 多孔介质方程 |
| 6.5.4 费米子气体的非线性Fokker-Plank方程 |
| 6.5.5 玻色子气体的非线性Fokker-Plank方程 |
| 6.6 本章小节 |
| 第7章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果 |
（5）时空分数阶偏微分方程的有限差分/元方法及其快速算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 预备知识 |
| 1.1 分数阶微积分的历史及发展现状 |
| 1.2 分数阶微积分算子定义及其性质 |
| 1.3 特殊矩阵 |
| 第二章 一维时空分数阶对流方程的满足保界性质的有限差分方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 一维空间分数阶对流方程的有限差分方法 |
| 2.2.1 一维空间分数阶对流方程的显式有限差分格式 |
| 2.2.2 保界性质及误差分析 |
| 2.2.3 快速实现 |
| 2.3 一维时空分数阶对流方程的有限差分方法 |
| 2.3.1 一维时空分数阶对流方程的显式有限差分格式 |
| 2.3.2 保界性质及误差分析 |
| 2.3.3 时间快速估计方法 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 收敛性与计算效果 |
| 2.4.2 异常扩散模拟 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 二维时空分数阶对流方程的满足保界性质的有限差分方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 二维空间分数阶对流方程的有限差分方法 |
| 3.2.1 二维空间分数阶对流方程的显式有限差分格式 |
| 3.2.2 保界性质及误差分析 |
| 3.2.3 快速实现 |
| 3.3 二维时空分数阶对流方程的有限差分方法 |
| 3.3.1 二维时空分数阶对流方程的显式有限差分格式 |
| 3.3.2 保界性质及误差分析 |
| 3.3.3 时间快速估计方法 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 收敛性与计算效果 |
| 3.4.2 异常扩散模拟 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 平面上时空分数阶方向导数偏微分方程的有限元方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型问题及其有限元格式 |
| 4.2.1 模型问题 |
| 4.2.2 Galerkin有限元格式 |
| 4.3 稳定性分析及误差估计 |
| 4.4 有限元方法的快速实现 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 本文工作总结 |
| 5.2 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 参加科研项目情况 |
| 作者简介 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（6）承压含水层渗流偏微分方程正问题和反问题的数值解法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号说明 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 多孔介质中渗流问题的研究现状 |
| 1.3 承压含水层渗流运动的控制方程 |
| 1.4 定解条件和定解问题 |
| 1.5 求解扩散方程的主要数值方法 |
| 1.6 扩散方程反问题求解的研究现状 |
| 1.7 本文主要工作 |
| 第2章 应用有限体积法求解渗流偏微分方程 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 一维渗流方程的有限体积法求解过程 |
| 2.3 二维渗流方程的有限体积法求解过程 |
| 2.4 算例分析 |
| 第3章 应用高阶格式求解渗流偏微分方程 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 利用高阶格式对渗流方程进行离散 |
| 3.3 误差分析 |
| 3.4 算例分析 |
| 第4章 应用有限体积法求解渗流方程中的渗透系数 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 有限体积法求解过程 |
| 4.3 算例分析 |
| 第5章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间参与科研情况、论文发表及获奖情况 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（7）浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1. 绪论 |
| 1.1 背景研究 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 数值计算精度的研究进展 |
| 1.2.2 数值算法并行化的研究进展 |
| 1.2.3 三对角矩阵并行化的研究进展 |
| 1.2.4 MATLAB并行求解应用研究进展 |
| 1.3 发展趋势 |
| 1.4 本文的主要研究内容 |
| 2. 一维Dirchlet边界条件下浓度对流扩散方程高精度格式构造 |
| 2.1 一般内点差分格式 |
| 2.1.1 内点格式构造 |
| 2.1.2 内点格式稳定性分析 |
| 2.2 边界差分格式 |
| 2.2.1 始边界格式构造 |
| 2.2.2 始边界格式稳定性分析 |
| 2.2.3 末边界格式构造 |
| 2.2.4 末边界格式稳定性分析 |
| 2.3 数值算例 |
| 2.4 本章小结 |
| 3. 浓度对流扩散方程高精度格式并行计算方法 |
| 3.1 并行计算方法推导 |
| 3.2 数值算例及并行效率分析 |
| 3.2.1 一维浓度对流扩散方程并行效率分析 |
| 3.2.2 二维浓度对流扩散方程并行效率分析 |
| 3.3 本章小结 |
| 4. 基于对流扩散方程并行计算中的MATLAB高效实现方法 |
| 4.1 影响并行计算效率的因素 |
| 4.2 提高并行计算效率的方法 |
| 4.2.1 减少数据通讯时间 |
| 4.2.2 混合编译优化 |
| 4.3 本章小结 |
| 5. 环境中的应用 |
| 5.1 问题描述 |
| 5.2 数值模拟 |
| 6. 结论 |
| 参考文献 |
| 附录A 一维浓度对流扩散方程高精度格式的内点差分系数 |
| 附录B 一维浓度对流扩散方程高精度格式的始边界差分系数 |
| 附录C 一维浓度对流扩散方程高精度格式的末边界差分系数 |
| 附录D 二维浓度对流扩散方程高精度格式的解 |
| 致谢 |
| 作者简历及攻读硕士学位期间的科研成果 |
（8）求解对流扩散方程的一种边界型方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 主要符号对照表 |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究的目的和意义 |
| 1.2 对流扩散方程的数值方法研究成果及进展 |
| 1.2.1 有限差分法 |
| 1.2.2 有限元法 |
| 1.2.3 有限体积法 |
| 1.2.4 边界元法 |
| 1.2.5 其他数值计算方法 |
| 1.3 非线性对流扩散方程的数值方法部分研究成果及进展 |
| 1.4 本文的主要工作 |
| 第2章 求解稳态对流扩散方程的半边界法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 一维稳态对流扩散方程理论推导 |
| 2.3 二维稳态对流扩散方程理论推导 |
| 2.4 一维稳态对流扩散方程数值实验 |
| 2.5 二维稳态对流扩散方程数值实验 |
| 2.5.1 考虑第一类边界条件的无源二维稳态对流扩散问题 |
| 2.5.2 包含不连续参数的二维稳态对流扩散问题 |
| 2.5.3 含源二维稳态对流扩散问题 |
| 2.5.4 考虑第一类、第二类边界条件的二维稳态对流扩散问题 |
| 2.5.5 考虑第一类、第三类边界条件的二维稳态对流扩散问题 |
| 2.6 本章小结 |
| 第3章 求解非稳态对流扩散方程的半边界法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 一维非稳态对流扩散方程理论推导 |
| 3.3 二维非稳态对流扩散方程理论推导 |
| 3.4 一维非稳态对流扩散方程数值实验 |
| 3.4.1 考虑第一类边界条件的一维非稳态对流扩散问题 |
| 3.4.2 考虑第一类、第三类边界条件的一维非稳态对流扩散问题 |
| 3.4.3 包含分段源项及第二类边界条件的一维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5 二维非稳态对流扩散方程计算 |
| 3.5.1 考虑第一类边界条件的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5.2 含源项的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5.3 含连续变化参数的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5.4 含间断参数的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.5.5 考虑第一类、第二类边界条件的二维非稳态对流扩散问题 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 求解非线性对流扩散方程的半边界法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数值方法 |
| 4.2.1 一维稳态非线性对流扩散方程推导 |
| 4.2.2 一维非稳态非线性对流扩散方程推导 |
| 4.3 数值实验及应用 |
| 4.3.1 一维稳态非线性对流扩散方程计算 |
| 4.3.2 一维非稳态非线性对流扩散方程计算 |
| 4.3.3 考虑材料非线性的对流扩散方程计算 |
| 4.4 本章小结 |
| 第5章 半边界法在非矩形求解域问题中的应用 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 非矩形求解域的边界条件处理方式 |
| 5.3 三角形平板导热问题 |
| 5.4 扇形平板导热问题 |
| 5.5 本章小结 |
| 第6章 结论与展望 |
| 6.1 结论 |
| 6.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的论文及其它成果 |
| 攻读博士学位期间参加的科研工作 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（9）对流扩散方程保正格式与平衡辐射扩散方程数值方法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.1.1 对流扩散方程 |
| 1.1.2 辐射扩散方程 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 对流扩散方程 |
| 1.2.2 辐射扩散方程 |
| 1.3 本文的工作 |
| 第二章 非定常对流扩散方程的保正格式 |
| 2.1 问题与符号 |
| 2.2 保正格式的构造 |
| 2.2.1 扩散通量的离散 |
| 2.2.2 对流通量的离散 |
| 2.2.3 边中点值的计算 |
| 2.3 解的存在性 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 扩散占优问题 |
| 2.4.2 对流占优问题 |
| 2.5 小结 |
| 第三章 非线性能量方程的全隐有限差分格式分析 |
| 3.1 非线性离散格式及其截断误差 |
| 3.2 非线性离散格式解的存在性 |
| 3.3 非线性离散格式的收敛性 |
| 3.3.1 L~∞(L~2)收敛性 |
| 3.3.2 L~∞(H~1)收敛性 |
| 3.4 非线性离散格式解的唯一性 |
| 3.5 非线性离散格式解的稳定性 |
| 3.6 小结 |
| 第四章 平衡辐射扩散方程的非线性迭代方法 |
| 4.1 迭代序列的构造 |
| 4.1.1 问题和记号 |
| 4.1.2 全隐离散格式 |
| 4.1.3 Picard因式分解(PF)迭代 |
| 4.1.4 Picard-Newton因式分解(PNF)迭代 |
| 4.1.5 Picard-Newton(PN)迭代 |
| 4.1.6 无导数的Picard-Newton因式分解(DFPNF)迭代 |
| 4.2 收敛精度与保正性 |
| 4.2.1 PF迭代的精度和保界性 |
| 4.2.2 PNF迭代的精度和保正性 |
| 4.2.3 PN迭代的精度和保正性 |
| 4.2.4 DFPNF迭代的精度和保正性 |
| 4.3 收敛速度 |
| 4.3.1 PF迭代的收敛速度 |
| 4.3.2 PNF迭代的收敛速度 |
| 4.3.3 PN迭代的收敛速度 |
| 4.3.4 DFPNF迭代的收敛速度 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 人造解问题(精度和效率测试) |
| 4.4.2 人造解问题(保正性测试) |
| 4.4.3 强非线性问题(精度和效率测试) |
| 4.5 小结 |
| 第五章 非线性扩散问题全隐有限体积格式分析及其应用 |
| 5.1 非线性扩散问题 |
| 5.2 有限体积格式的构造 |
| 5.3 截断误差 |
| 5.3.1 非线性能量函数时间导数向后Euler离散的截断误差 |
| 5.3.2 非线性扩散算子有限体积离散的截断误差 |
| 5.3.3 截断误差方程 |
| 5.4 误差方程 |
| 5.5 全隐有限体积离散格式解的存在性 |
| 5.6 全隐有限体积离散格式解的收敛性 |
| 5.6.1 L~∞(L~2)收敛性 |
| 5.6.2 L~∞(H~1)收敛性 |
| 5.7 基于Saha电离模型的平衡辐射扩散方程的迭代序列的构造 |
| 5.8 数值实验 |
| 5.9 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 总结 |
| 6.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录7 攻读博士学位期间发表的论文 |
（10）含有一般容量项的非线性对流扩散方程的全隐有限元方法和全隐特征修正有限元方法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景及现状 |
| 1.2 本文的工作 |
| 1.3 模型问题、符号以及预备知识 |
| 第二章 全隐有限元格式及其性质分析 |
| 2.1 非线性全隐有限元离散格式 |
| 2.2 非线性全隐有限元离散格式解的存在性 |
| 2.3 非线性全隐有限元离散格式解的收敛性 |
| 2.4 非线性全隐有限元离散格式解的唯一性 |
| 2.5 非线性全隐有限元离散格式解的稳定性 |
| 第三章 有限元迭代方法及其收敛性分析 |
| 3.1 Picard-Newton迭代的收敛性分析 |
| 3.2 Picard-Newton迭代的收敛速度分析 |
| 3.3 数值实验 |
| 第四章 全隐特征有限元格式及其性质分析 |
| 4.1 非线性全隐特征有限元离散格式 |
| 4.2 非线性全隐特征有限元离散格式解的存在性 |
| 4.3 非线性全隐特征有限元离散格式解的收敛性 |
| 第五章 特征有限元迭代方法及其收敛性分析 |
| 5.1 Picard-Newton迭代的收敛性分析 |
| 5.2 Picard-Newton迭代的收敛速度分析 |
| 第六章 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
四、对流扩散方程的一种显式有限体积-有限元方法（论文参考文献）
- [1]一类对流扩散方程（组）的两种数值解法研究[D]. 班亭亭. 内蒙古工业大学, 2021(01)
- [2]时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究[D]. 赵永良. 电子科技大学, 2021(01)
- [3]几类奇异摄动问题的高精度数值方法研究[D]. 杨录峰. 兰州大学, 2021(09)
- [4]非线性方程间断有限元方法的误差估计和保界格式[D]. 闫凤娜. 中国科学技术大学, 2020(01)
- [5]时空分数阶偏微分方程的有限差分/元方法及其快速算法[D]. 高静. 山东大学, 2020(08)
- [6]承压含水层渗流偏微分方程正问题和反问题的数值解法[D]. 张晨晨. 山东大学, 2020(11)
- [7]浓度对流扩散方程高精度并行算法及其应用[D]. 谢悦. 大连海事大学, 2020(01)
- [8]求解对流扩散方程的一种边界型方法研究[D]. 赵媛媛. 华北电力大学(北京), 2020(06)
- [9]对流扩散方程保正格式与平衡辐射扩散方程数值方法[D]. 张燕美. 中国工程物理研究院, 2020(01)
- [10]含有一般容量项的非线性对流扩散方程的全隐有限元方法和全隐特征修正有限元方法[D]. 韩佳琦. 东北师范大学, 2020(02)