一、一类二阶变系数微分方程的解（论文文献综述）
钱志祥[1]（2021）在《变系数线性微分方程的解法探究》文中研究表明研究了变系数线性微分方程的解法,介绍了变系数线性微分方程的一般解法和一些特殊解法,为求解变系数线性微分方程提供了解题思路.
郑华盛[2]（2021）在《二阶变系数线性微分方程的解法探讨》文中指出给出了变系数满足几种特定条件的二阶变系数齐次线性微分方程的特解形式,得到了一个命题.之后通过几个典型实例验证了命题在求解几类二阶变系数线性微分方程特解和通解中的有效性.
王金妮,杨锐[3]（2021）在《二阶变系数微分方程求解问题》文中认为迄今为止,二阶变系数线性微分方程仍然没有通用的求解方法。本文利用了降阶法求解一类特殊的二阶变系数微分方程,并将该方法应用于具体的实例中,进一步说明了使用该方法的重点、难点及关键点等。
蹇焕燕[4]（2021）在《几类分数阶微分方程的快速数值算法研究》文中认为分数阶方程作为整数阶方程的推广,近年来被广泛用于建模各种物理和科学现象。由于分数阶算子的非局部性,分数阶模型能更精确地描述具有遗传和记忆性质的材料和过程。大多数分数阶方程的解析解都不易确定,所以一般研究其数值方法。此外,分数阶算子的离散通常导出稠密矩阵,这也造成了极大计算困难。因此,发展其高性能算法也是十分迫切的。本文工作主要分为以下四个方面:1.针对时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程,提出了一个快速隐式差分格式。首先通过数值积分,将该方程转换为一个多项时空分数阶方程。然后提出一个隐式差分格式来求解这个多项时空分数阶方程,并讨论它的无条件稳定性和收敛性。另外,发展了预处理的Krylov子空间算法来计算导出的Toeplitz-like线性系统。最后数值实验结果支持了理论发现,并验证了算法的有效性。2.针对时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程,建立了一个快速二阶差分格式。利用加权位移Gr¨unwald公式离散时间导数和分数阶中心差分公式离散空间导数,从而导出差分格式。另证明了该格式在时间、空间和分布阶上的稳定收敛性。一维时,提出基于Gohberg-Semencul公式的预处理Krylov子空间算法来计算Toeplitz系统。二维时,构建带截断预处理子的全局预处理共轭梯度法来求解Sylvester系统。数值实验结果验证了提出差分格式和快速算法的有效性。3.针对非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,发展了一个快速隐式积分因子方法。首先利用分数阶中心差分公式空间离散该方程,得到一个非线性常微分方程系统。其次,为获得良好的稳定性和鲁棒性,采用隐式积分因子方法求解该系统。另外,为了降低计算量,考虑到系数矩阵是对称正定Toeplitz的,提出了基于Gohberg-Semencul公式的位移-逆Lanczos方法来计算指数矩阵-向量乘积。最后用数值实验证实了理论结果的正确性,并验证了快速求解算法的有效性。4.针对二维的非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程,提出了一个非均匀网格的快速紧隐式积分因子方法。利用加权位移Gr¨unwald-Letnikov方法对该方程空间离散后,得到一个矩阵形式的非线性常微分方程系统。鉴于紧隐式积分因子方法的稳定性,将其与非均匀时间网格和对角化技术结合,构建了一种非均匀时间网格的快速紧隐式积分因子方法。与已有方法相比,该方法避免了直接计算稠密指数矩阵并显着降低了计算成本。数值实验也验证了提出方法的有效性。
赵永良[5]（2021）在《时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究》文中研究说明分数阶微积分至今已在粘弹性力学、系统控制、图像处理和金融工程等诸多领域取得重要应用,但令人遗憾的是只有少数分数阶偏微分方程能够求得解析解。因此,分数阶偏微分方程的数值解法受到许多学者的关注。由于分数阶微分算子的非局部性,分数阶偏微分方程的数值离散系统往往是稠密的,这使得传统解法的求解效率大幅降低。因此,开发出高效、可靠的算法来求解这些离散系统具有重要意义。针对几类分数阶偏微分方程的数值离散系统,本文将挖掘和利用其结构性质来设计高效的快速求解策略,主要内容可概括如下:1.分别对一维和二维的带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程引入有限差分格式,并证明它们的稳定性和收敛性。根据二维离散系统的结构,设计出相应的快速求解算法。数值实验被用于验证所提数值格式和快速算法的有效性。2.由时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的研究。在时间分数阶移动/固定对流-扩散方程方程的有限差分格式基础上,将所有时间层的数值解排列成一个列向量,这样便会得到一个一次性系统。通过对此系统进行求解,所有时间层的数值解可以同时获得。根据此一次性系统的系数矩阵结构,设计出两种预处理子来加速Krylov子空间方法对它的求解。此外,还对这两种预处理子的一些性质进行讨论。数值实验被用来验证所提快速算法的有效性。3.建立时空分数阶对流-扩散方程的有限差分格式,并证明它的稳定性和收敛性。此外,还将此离散技术推广到求解非线性的时空分数阶对流-扩散方程。通过使用Krylov子空间方法来求解此离散系统,能够快速获取时空分数阶对流-扩散方程的数值解,并且设计出一种循环预处理子来加速Krylov子空间方法的收敛。数值实验结果表明这快速算法比传统的直接解法更加高效。4.关于由时空分数阶扩散方程导出的一次性系统的研究。基于该一次性系统的特殊结构,采用Krylov子空间方法对该系统进行求解,并设计预处理子来加速其收敛。在该预处理子的求逆中,会涉及到Toeplitz矩阵求逆。利用一种Toeplitz矩阵求逆公式来计算此Toeplitz矩阵的逆,并提出一个预处理子对其进行加速。数值实验结果表明所提的快速算法对求解此类一次性系统是十分有效且可靠的。
陶筱平[6]（2020）在《一类二阶变系数线性微分方程的求解探讨》文中研究表明本文对系数为一次函数的二阶变系数线性微分方程是否有形如y=xkerx类型的特解,以及求这种特解的方法进行了研究。首先证明了该类型方程的特解的充要条件,接着分析讨论了判断并求其特解的具体方法,还给出了通过特解y=xkerx反向构造此类方程的一种方法,最后结合实例对定理的结论进行了验证。
郭春晓,郭艳凤,徐剑琴[7]（2020）在《一类二阶变系数常微分方程的解及其渐近性》文中指出讨论实际问题中一类二阶变系数线性齐次常微分方程的数学模型,利用幂级数待定系数法得到了一般情况下的幂级数解的形式.在特殊条件下,对相应系统做变换,并利用变量分离法得到具有初等函数形式的解析解,并分析了在此情况下解的渐近性.最后,利用Lyaponov方法进行渐近性分析,得到了在一定条件下的收敛性结果,这个渐近性收敛结果在实际应用中是存在的,与某种特殊条件下的解收敛性相一致,从而说明了该数学模型在应用上有一定实际意义.
高焕江,徐迅迅,张翠丽[8]（2019）在《一类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解》文中认为通过在二阶变系数非齐次线性微分方程两边同乘以某个积分因子将该方程转化为常系数非齐次线性微分方程,进而得出二阶变系数非齐次线性微分方程的通解公式.
黄梅花[9]（2019）在《一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究》文中研究表明二阶线性微分方程在常微分方程理论中占有重要的地位。一般求解常系数线性微分方程的方法包括特征根法、比较系数法和拉普拉斯变换法等,但二阶变系数线性微分方程却没有一般的方法进行求解。利用解微分方程的重要方法——常数变易法,给出一类二阶变系数线性微分方程通解的求法和结论,经过探究证明方法和结论是可行的。
周宇澄[10]（2019）在《参数非均质球体的力学问题及其在地球物理学中的应用》文中提出本文分别给出了非均质性球对称问题和空间轴对称问题的解析通解,构建了地球内部各物理和力学参数由简洁的函数关系所表达的弹性地球分层结构模型,并给出了模型的弹性力学解。对于非均质性球对称问题的研究,推导了非均质性问题的位移控制方程。首先考虑了杨氏模量随半径指数分布的情形,给出了问题的解析解。其次考虑了杨氏模量随半径为一般线性规律变化的情形,采用常微分方程的幂级数解法给出了问题的级数解。文中对球对称万有引力的分布进行了计算,其中假设密度函数沿半径方向呈指数分布,并给出了有体力非齐次方程的解析位移解。对于非均质空间轴对称问题的研究,考虑杨氏模量为最一般分布的情形,采用弹性力学应力解法求解柱坐标系中的轴对称应力平衡方程,给出了无体力问题的解析通解,并探讨了轴对称球体问题在柱坐标系中的表示方法以及求解程序。作为非均质性球体问题的应用,文中对地球内部结构模型进行了探讨。首先通过对现有的地球物理学测量数据进行拟合得到了地球内部地震波波速的函数分布关系,进而得到了地球内部弹性常数沿深度分布的函数关系,构建出弹性地球的力学模型,并采用Runge-Kutta数值方法计算了在给定边界条件时杨氏模量二次多项式分布情形的分层球对称问题,分别得到了考虑万有引力体力和不考虑体力时的弹性力学数值解。同时文中对构建的弹性地球内部结构模型从几个不同的方面进行了验证,包括地球的质量、转动惯量和各分层的地震波波速以及密度分布等。探究了考虑轴对称自转向心力时构建轴对称地球模型的程序和方法,同时也讨论了地球结构模型的几个实际应用以及还可以改进的地方。
二、一类二阶变系数微分方程的解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一类二阶变系数微分方程的解（论文提纲范文）
（1）变系数线性微分方程的解法探究（论文提纲范文）
| 1 变量替换法 |
| 2 降阶法 |
| 3 拉普拉斯变换法 |
| 4 刘维尔公式法 |
| 5 常数变易法 |
| 6 幂级数解法 |
| 7 广义幂级数解法 |
| 8 勒让德函数法 |
| 9 贝赛尔函数法 |
| 10 结语 |
（2）二阶变系数线性微分方程的解法探讨（论文提纲范文）
| 1 引言 |
| 2 引理和命题 |
| 3 应用实例 |
| 4 结束语 |
（3）二阶变系数微分方程求解问题（论文提纲范文）
| 一、降解法求解一类特殊的二阶变系数微分方程 |
| 二、降解法求解一类特殊的二阶变系数微分方程实例 |
（4）几类分数阶微分方程的快速数值算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 缩略词表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景和意义 |
| 1.2 分数阶导数的定义与性质 |
| 1.3 分数阶方程的常见数值算法 |
| 1.4 研究内容及创新点 |
| 1.5 本文结构安排 |
| 第二章 时间分布阶和变系数空间分数阶扩散方程的快速隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 数值格式 |
| 2.2.1 数值格式的推导 |
| 2.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 2.3 快速算法 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分布阶和Riesz空间分数阶扩散波方程的快速二阶隐式差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 数值格式 |
| 3.2.1 数值格式的推导 |
| 3.2.2 稳定性、收敛性分析 |
| 3.3 快速算法 |
| 3.3.1 一维情况 |
| 3.3.2 二维情况 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速隐式积分因子法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 数值格式 |
| 4.2.1 空间半离散 |
| 4.2.2 隐式积分因子法 |
| 4.3 快速算法 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 二维非线性Riesz空间分数阶反应-扩散方程的快速紧隐式积分因子法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 数值格式 |
| 5.2.1 空间半离散 |
| 5.2.2 快速紧隐式积分因子法 |
| 5.3 线性稳定性分析 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（5）时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 时间和时空分数阶偏微分方程数值方法的研究现状 |
| 1.1.1 时间分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.1.2 时空分数阶偏微分方程的研究现状 |
| 1.2 本文研究动机与主要内容 |
| 第二章 带有时间阻尼项的变系数时间分数阶反应-扩散方程的二阶隐式差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 方程(2-1)的一种隐式差分格式 |
| 2.2.1 二阶差分格式 |
| 2.2.2 稳定性分析与误差估计 |
| 2.3 方程(2-1)的二维情形 |
| 2.3.1 方程(2-1)的一个隐式差分格式 |
| 2.3.2 数值离散格式(2-11)的稳定性和收敛性分析 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 一维问题 |
| 2.4.2 二维问题 |
| 2.4.3 预处理迭代法求解(2-11) |
| 2.5 本章小结 |
| 第三章 时间分数阶移动/固定对流-扩散方程导出的一次性系统的预处理迭代算法研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 有限差分离散和一次性系统 |
| 3.2.1 时间步进格式 |
| 3.2.2 一次性系统 |
| 3.3 两个预处理子 |
| 3.3.1 块二对角预处理子 |
| 3.3.2 块阶梯预处理子 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 时空分数阶对流-扩散方程的一种快速二阶隐式差分逼近 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 时空分数阶对流-扩散方程的一个隐式差分格式 |
| 4.2.1 时空分数阶对流-扩散方程的数值离散 |
| 4.2.2 隐式差分格式的稳定性和收敛性分析 |
| 4.2.3 非线性时空分数阶对流-扩散方程 |
| 4.3 离散系统的循环预处理子 |
| 4.4 数值实验 |
| 4.4.1 收敛阶的验证 |
| 4.4.2 快速算法实验 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 时空分数扩散方程导出的块下三角Toeplitz系统的快速求解策略 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 有限差分离散及块下三角Toeplitz系统 |
| 5.2.1 时间步进格式 |
| 5.2.2 块下三角Toeplitz系统 |
| 5.3 两个预处理子以及谱分析 |
| 5.3.1 块二对角Toeplitz预处理子 |
| 5.3.2 斜循环预处理子 |
| 5.4 数值实验 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 全文工作的总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录A 第二章的补充实验 |
| 附录B 第四章的补充实验 |
| 附录C 第四章的PGPBi COR(3,1)算法 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（6）一类二阶变系数线性微分方程的求解探讨（论文提纲范文）
| 1 相关研究 |
| 1.1 方程存在特解的条件 |
| 1.2 方程存在特解的判断方法 |
| 2 应用 |
（8）一类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解（论文提纲范文）
| 1 引 言 |
| 2 主要结果 |
| 3 应 用 |
（9）一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究（论文提纲范文）
| 一、两个定理及其证明 |
| 二、应用举例 |
（10）参数非均质球体的力学问题及其在地球物理学中的应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题来源及研究的背景和意义 |
| 1.1.1 课题的来源 |
| 1.1.2 课题的研究背景和意义 |
| 1.2 国内外研究进展及现状分析 |
| 1.2.1 国内外研究进展 |
| 1.2.2 国内外研究现状的简析 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 1.3.1 非均质性球对称问题 |
| 1.3.2 非均质性轴对称问题 |
| 1.3.3 球对称弹性地球模型 |
| 1.4 研究程序及方法 |
| 1.4.1 非均质性球对称问题 |
| 1.4.2 非均质性轴对称问题 |
| 1.4.3 球对称弹性地球模型 |
| 第2章 非均质性球对称问题的弹性力学解 |
| 2.1 非均质性球对称弹性力学方程 |
| 2.1.1 均质性球对称问题的弹性力学方程 |
| 2.1.2 非均质性球对称问题的弹性力学方程 |
| 2.2 非均质性球对称弹性力学问题及求解 |
| 2.2.1 常微分方程基础 |
| 2.2.2 非均质性球对称弹性力学问题的求解 |
| 2.2.3 非均质性球对称问题解的退化形式及验证 |
| 2.3 非均质性球对称弹性力学问题的应用 |
| 2.3.1 球对称功能梯度材料的设计 |
| 2.3.2 铁电材料畴变的理论研究 |
| 2.3.3 地球内部结构模型的建立 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 非均质性轴对称问题的弹性力学解 |
| 3.1 均质性轴对称弹性力学问题 |
| 3.1.1 球坐标系中轴对称弹性力学问题 |
| 3.1.2 柱坐标系中轴对称弹性力学问题 |
| 3.2 非均质性轴对称弹性力学问题 |
| 3.2.1 非均质性轴对称弹性力学基本方程 |
| 3.2.2 非均质性轴对称弹性力学问题的求解 |
| 3.3 轴对称球体问题的柱坐标解法 |
| 3.3.1 球体模型的柱坐标表达 |
| 3.3.2 非均质性轴对称球体问题的柱坐标解答 |
| 3.4 本章小结 |
| 第4章 弹性地球内部结构模型的构建 |
| 4.1 球对称弹性地球模型 |
| 4.1.1 地球内部物质的密度分布 |
| 4.1.2 地球内部地震波波速的分布与拟合 |
| 4.1.3 地球内部弹性常数的分布与拟合 |
| 4.2 球对称弹性地球模型的验证 |
| 4.2.1 地球质量的验算 |
| 4.2.2 地球转动惯量的验算 |
| 4.2.3 地球模型中其他特征的验算 |
| 4.3 轴对称弹性地球模型 |
| 4.3.1 轴对称自转向心力 |
| 4.3.2 轴对称地球模型简析 |
| 4.4 地球内部结构模型的应用 |
| 4.4.1 地球章动 |
| 4.4.2 钱德勒摆动 |
| 4.5 地球力学模型的研究展望 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 弹性地球内部结构模型的力学解 |
| 5.1 无体力球对称弹性地球的力学解 |
| 5.1.1 无体力球对称弹性地球的平衡方程 |
| 5.1.2 无体力球对称弹性地球的分层求解 |
| 5.2 有体力球对称弹性地球模型及其力学解 |
| 5.2.1 球对称万有引力 |
| 5.2.2 有体力球对称弹性地球的分层求解 |
| 5.3 有、无体力球对称模型的对比分析 |
| 5.4 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录A 地球内部物质的参数分布 |
| 附录B 文中数值计算涉及到的MATLAB源代码 |
| B.1 四阶Runge-Kutta法求解内核部分的无体力位移平衡方程 |
| B.2 四阶Runge-Kutta法求解内核及下地幔部分的有体力位移平衡方程 |
| 致谢 |
四、一类二阶变系数微分方程的解（论文参考文献）
- [1]变系数线性微分方程的解法探究[J]. 钱志祥. 兰州文理学院学报(自然科学版), 2021(06)
- [2]二阶变系数线性微分方程的解法探讨[J]. 郑华盛. 高等数学研究, 2021(03)
- [3]二阶变系数微分方程求解问题[J]. 王金妮,杨锐. 数学大世界(下旬), 2021(04)
- [4]几类分数阶微分方程的快速数值算法研究[D]. 蹇焕燕. 电子科技大学, 2021(01)
- [5]时间/时空分数阶偏微分方程求解的快速算法研究[D]. 赵永良. 电子科技大学, 2021(01)
- [6]一类二阶变系数线性微分方程的求解探讨[J]. 陶筱平. 黄冈师范学院学报, 2020(06)
- [7]一类二阶变系数常微分方程的解及其渐近性[J]. 郭春晓,郭艳凤,徐剑琴. 数学的实践与认识, 2020(05)
- [8]一类二阶变系数非齐次线性微分方程的通解[J]. 高焕江,徐迅迅,张翠丽. 大学数学, 2019(06)
- [9]一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究[J]. 黄梅花. 现代职业教育, 2019(22)
- [10]参数非均质球体的力学问题及其在地球物理学中的应用[D]. 周宇澄. 哈尔滨工业大学, 2019(02)