一、抛物型方程周期问题的高精度精细积分法（论文文献综述）
崔海超[1]（2020）在《周期及准周期结构瞬态热传导问题的高效数值算法》文中进行了进一步梳理周期结构是由基本周期单元（单胞）在空间周期性排列组合所形成的结构。通过充分利用其特有的结构分布特点,可以快速实现结构设计、建模分析以及加工制造。除此之外,周期结构还具有高比强度、高比刚度、轻质化、耐蠕变、耐高温、高能量吸收率、低热阻率以及材料性能可调控等众多优良的力学性能和物理特性,所以该类结构已在各个工程领域中发挥着极其重要的作用,成为现代结构设计和生产过程中不可或缺的重要结构类型。由于周期结构经常服役于复杂的热环境中,所以会存在热应力问题,特别是由剧烈温度变化或热力载荷突变所引起的瞬态热应力集中、热应变增大以及热疲劳失效等问题,对结构的强度和安全性至关重要。为了获得结构的热应力和热应变,首先需要对周期结构的瞬态温度场进行求解分析,因此对周期结构瞬态热传导问题的高效算法研究不仅具有重要的理论意义,而且具有极大的实用价值。周期结构往往具有复杂的内部结构和边界条件以及快速振荡的物性参数,因此很难直接采用现存的解析方法进行精确求解。所以,绝大多数工程实际问题只能采用数值算法进行分析求解:即,首先对其空间域进行数值离散,得到一组微分方程,随后再使用数值积分方法在时间域对其进行积分求解,从而获得所需的温度响应。然而,对于周期结构规模较大且热物性参数变化非常频繁的情况,当直接采用有限差分法或有限元法对其进行空间域离散时,往往要求网格剖分得非常细,进而导致所需求解的线性代数方程组规模较大,致使计算效率较低。因此,本博士学位论文将基于结构的周期特性、矩阵指数的特殊代数结构、线性问题的叠加原理以及瞬态热传导问题的物理特性建立求解周期结构及准周期结构瞬态热传导问题的高效率、高精度数值算法。其主要研究工作如下:（1）基于瞬态热传导问题的物理特性、矩阵指数元素的物理含义以及结构的周期特性,建立了一维周期结构瞬态热传导问题的高精度、高效率、高稳定性数值积分方法。根据瞬态热传导问题的基本解论述了其物理特性:即,在一个较小的时间步长内,只在一个位置点处所施加的单位外激励仅仅会对该点附近的区域有影响,而对远离该点的区域没有影响。基于该物理特性、矩阵指数元素物理含义以及特定的节点编号规则,论证了在一个较小的时间步长内,一维周期结构瞬态热传导问题所对应的矩阵指数是具有大量零元素的稀疏矩阵,且其非零元素只分布在对角线附近,呈带状分布;然后,结合结构的周期特性进一步讨论了该矩阵指数中非零元素的斜平移重复特性。以矩阵指数的这种特殊代数结构和精细积分算法为基础,将原一维周期结构矩阵指数的计算转化为小规模代表周期结构矩阵指数的计算,以此建立了一种可以避免重复计算和存储大量零元素和重复元素的数值方法。所提方法不仅可以有效地提高计算效率,降低计算所需内存,而且还继承了精细积分方法的高精度和高稳定性。通过数值算例可知,中心差分方法即使采用比本文方法小8倍的时间步长,其计算精度也无法达到本文算法的计算精度,这说明本文算法采用较大的时间步长仍可以给出高精度的解。就计算效率而言,在保证中心差分方法计算结果合理的条件下,本文方法的计算效率是中心差分方法的20倍左右,这表明本文方法具有很高的计算效率。（2）基于线性系统的叠加原理、瞬态热传导问题的物理特性以及结构的周期特性,提出了一种求解二维周期结构瞬态热传导问题的高精度、高效率、高稳定性数值方法。首先根据叠加原理,将二维周期结构温度响应的计算转化为一系列基本有限元模型温度响应的计算;进而结合瞬态热传导问题的物理特性,将所有基本有限元模型温度响应的计算转化为一系列小规模有限元模型温度响应的计算,通过降低计算规模来提高计算效率;最后,结合结构的周期特性分析发现大量的小规模有限元模型实际上具有相同的矩阵指数,因此只需要利用精细积分算法计算少量小规模结构的矩阵指数即可,通过减少计算次数进一步提高计算效率。本文算法不仅继承了精细积分方法的高精度和高稳定性,而且能够有效地提高计算效率,降低所需内存。数值算例表明,若中心差分方法采用与本文方法相同的时间步长时,其所得结果的相对误差较大。为了获得较合理的结果,中心差分方法必须采用较小的时间步长,但当其时间步长比本文方法小4倍时,其计算精度仍未达到本文方法的千分之一,说明本文方法采用较大时间步长仍可给出高精度的解。对于具有约580万自由度的二维周期结构而言,在保证计算结果较合理的条件下,本文方法的计算效率是以预处理共轭梯度方法为求解器的中心差分方法的27倍左右;而由于计算内存的限制,此时直接解法已无法用来求解中心差分方法所得到的线性代数方程组。因此,本文方法具有很高的计算效率,且所需内存较小。（3）基于高斯热源的时-空分布特点、结构的周期特性以及瞬态热传导问题的物理特性,针对移动热源作用下周期结构的瞬态热传导问题建立了高效的数值积分方法。文中采用高斯热源模型来模拟移动热源,尽管移动热源的中心位置具有时变性,但是在每一时刻,其热流密度的空间分布具有相对时不变特性和局部特性。依据高斯热源的这种时-空分布特性、结构的周期特性以及瞬态热传导问题的物理特性,论证了移动热源在远离两端边界的单胞上移动时,其在一个时间步长内所做的贡献具有重复特性。文中利用该特点,提出了一种减少重复计算的数值方法,以此提高计算效率。结合线性问题的叠加原理,将移动热源在一个时间步长内引起的整个周期结构上的温度响应的计算转化为多个基本等效热载荷分别单独作用在小规模结构上所引起的温度响应的计算,通过降低计算规模来进一步提高计算效率。数值算例表明,所提方法的相对误差为10-4左右,具有较高的计算精度;对于具有约21万自由度的单移动热源问题和约110万自由度的多移动热源问题而言,所提方法的计算效率分别是以预处理共轭梯度方法作为求解器的中心差分方法的4倍和5倍左右。（4）根据外激励在一个时间步长内所引起的温度响应的局部特性,提出了含非线性杂质准周期结构瞬态热传导问题的准叠加原理,进而建立了一种求解该问题的高精度、高效率数值积分方法。依据瞬态热传导问题的物理特性以及杂质单胞的位置,可以将整个结构的外激励适当地分为两组,而在一个时间步长内含杂质准周期结构的温度响应可由这两组外激励分别单独作用在准周期结构上所引起的温度响应的叠加得到。基于该结论,准周期结构瞬态热传导问题的求解可以转化为一个完美周期结构的线性瞬态热传导问题的求解和多个含杂质小规模子结构的非线性瞬态热传导问题的求解。由于含杂质子结构的规模较小,所以其对应的非线性瞬态热传导问题可以利用传统方法进行高效求解;而完美周期结构的瞬态热传导问题则可以基于本博士论文中所提出的高效数值方法进行求解。所提算法不仅可以避免大规模非线性方程组的求解,还可以有效地消除整体结构所对应的热传导矩阵和热容矩阵的更新。因此,该方法较传统算法而言,所需内存较少,计算效率较高。数值算例表明,本文方法采用较大时间步长计算所得的相对误差大约是10-3,具有较高的计算精度;就计算效率而言,在保证计算结果合理的条件下,对具有约500万自由度的含非线性杂质准周期结构而言,本文算法的计算效率是传统方法的10多倍甚至60多倍。
王敏[2]（2019）在《非均质油藏高效数值模拟算法的研究》文中研究表明油藏的强非均质性不仅对于油藏开发有着重要的影响,而且给数值模拟带来很大难度。首先在强非均匀情况下,多维问题中的跨界面流量计算对于数值格式的准确性有很大的影响,传统算法的计算结果存在很大误差,如何建立高精度的离散格式对非均质油藏的研究格外重要。其次非均质油藏的建模使得网格数达到百万甚至上千万的规模。多重网格技术,如自适应网格法,通过降低网格数来提升计算效率是数值模拟中常用的方法。但对于具有特殊渗透率分布的油藏,需要研究该方法的细分准则及算法,以满足计算精度和计算效率的要求。在含井群数量较多且频繁开关井的油藏,内部物理量变化剧烈,从而导致精细网格比例大幅上升,自适应网格法计算效率下降,同时所需内存也大幅上升。改进相关算法,以适用于存储量有限的单机大规模数值模拟,具有重要的工程实际应用价值。针对这些问题,本文开展以下三个方面的工作,具体如下:1.提出了张量渗透率条件下,三维单相不可压缩稳态渗流的有限分析格式。通过研究发现,在相邻网格的公共棱附近,流动具有准二维特性,即垂直于棱方向的压力梯度和速度发散,其值远大于沿棱方向的压力梯度和速度。基于此,可将棱邻域内的三维方程简化为二维方程,从而得到公共棱邻域内的包含幂律部分和线性部分的局部近似解析解,并对这两部分的重要性进行分析和讨论。以该局部近似解析解为基础,通过控制容积法建立了相应的有限分析格式。算例表明,与传统算法相比,有限分析格式的计算精度有了本质上地提高,在少量的细分数下就可以实现数值解对真解的收敛;更为关键的是,其收敛速度不受渗透率的各向异性、主轴旋转以及非均匀程度的影响。而传统算法通常需要足够的细分才能获得比较准确的解,并且其受渗透率非均匀程度影响很大,当介质非均匀性很强时,计算得到的数值解向真解的收敛速度非常慢。2.研究含泥质夹层油藏及韵律油藏的自适应网格法。对于含泥质夹层油藏,根据其空间分布的复杂性,针对两种最基本的含泥质夹层网格,建立其网格渗透率的计算方法,并在表观上使其回归到一般性的非均质油藏,从而可以使用传统的自适应网格法进行计算。多个算例表明,与全精细网格结果对比,自适应网格法的计算结果具有很好的精度,其计算效率有了大幅提升,约是全精细网格的6-7倍。对于韵律油藏,通过定义层内角点网格的平均渗透率,引入网格粗化的渗透率判断标准,弥补了传统自适应网格法仅依据流体物理量进行粗化所带来的地层信息丢失的缺陷。在不满足渗透率判断标准时,将跨层粗化转化为层内粗化。算例表明,引入渗透率判断标准的自适应网格法具有很高的计算精度和计算效率。3.改进了千万节点规模的油水两相渗流问题的单机数值求解器。通过顺序求解方法将两相质量守恒方程解耦成可单独求解的压力方程和饱和度方程。对于压力方程,为了降低求解过程中的数据存储量,采用交替方向方法将其分解成三个方向进行求解,分析并修正了其中的迭代参数,针对实际非均质油藏提出了相应的迭代参数,同时采用OpenMP并行算法以提高计算效率。对于饱和度方程采用拓扑排序方法,从而实现了按照流动方向从上游逐点往下游地直接求解。算例表明,不管是规则区域算例还是非规则区域算例,该数值求解器均实现了单机的千万节点模拟,相较于传统算法,单机可实现的最大计算规模有了大幅提升,而且具有较高的计算效率。综上所述,本文对于非均质油藏数值模拟中的几个关键性问题进行了研究,并提出了相应的算法。利用这些算法可以使得数值计算在精度上、效率上以及计算规模上有很大提升,对非均质油藏的数值研究和开发应用具有重要意义。
杨小锋[3]（2016）在《几类非线性偏微分方程的行波解及多辛结构研究》文中研究表明客观世界本质上是非线性的,很多所谓的线性系统,是在某些特定的条件下对非线性系统进行线性近似的结果.只有非线性模型才能从本质上反映和描述客观世界中大量存在的非线性现象,从而揭示这些非线性现象的内在规律和本质.通常,人们用非线性偏微分方程（组）来描述这些非线性系统.如果能得到这些非线性偏微分方程（组）的精确解或者数值解,将有助于理解非线性系统的运动变化规律以及本质特征,对非线性现象做出合理的解释,从而推动数学、物理、力学和工程技术的发展.一方面,就寻求非线性偏微分方程（组）精确解的历史和发展现状而言,已经涌现出了诸如反散射方法、贝克隆变换法、李群方法、首次积分法、Hirota双线性法、齐次平衡法、（G′/G）-展开法、辅助常微分方程方法、雅可比椭圆函数法等.但是,到目前为止对非线性偏微分方程（组）而言,还没有一种可以获得其精确解的普适性方法.探索精确求解非线性偏微分方程（组）的新方法仍然是数学、物理工作者的重要任务.另一方面,对于很多难以获得精确解或者本身就不存在精确解的非线性偏微分方程（组）而言,人们往往借助于数值方法.通常,经典的差分方法、有限元方法、谱方法在短时间内能满足计算精度要求.但是这些经典方法却很难保持非线性系统的内在几何性质,也很难保持长时间的数值稳定性.研究具有长时间数值稳定性并且尽可能保持系统内在几何性质的算法具有重大意义.一般情况下,对非线性偏微分方程（组）而言,人们往往认为精确解法与数值解法之间没有明显的关系.本文主要研究求解几类非线性偏微分方程（组）行波解的技巧和方法,并利用其中一些结果来构造非线性偏微分方程（组）的多辛结构.主要内容包括:1.提出求解非线性偏微分方程（组）行波解的广义黎卡提-伯努利辅助常微分方程方法.该方法将求解非线性偏微分方程（组）转化为求解非线性代数方程组,可以得到一大批非线性偏微分方程（组）的行波解.该方法可将非线性偏微分方程（组）及其修正方程统一求解,使得非线性偏微分方程（组）的求解更一般化,并且可以退化为一般的黎卡提辅助常微分方程方法和一般的伯努利辅助常微分方程方法.2.提出求解非线性偏微分方程（组）行波解的黎卡提-伯努利-椭圆辅助常微分方程方法.该方法将求解非线性偏微分方程（组）转化为求解非线性微分-代数方程组,可以得到一大批非线性偏微分方程（组）的维尔斯特拉斯椭圆函数解、孤立波解、雅可比椭圆函数解,并且还可以退化为经典的（G′/G）-展开法和雅可比椭圆函数法.3.提出待定系数的齐次平衡方法,该方法用于求解非线性偏微分方程（组）的精确解,可以把一大类非线性偏微分方程（组）线性化、（组合）双线性化、齐次化,从而可以得到非线性偏微分方程（组）的组合行波解、N-孤子解、行波解（双曲函数解、三角函数解、有理函数解）.利用待定系数的齐次平衡方法,给出广义（2+1）维Nizhnik-Novikov-Veselov方程组的两种组合双线性结构.在此基础上,应用Hirota双线性法得到该方程组两种不同的N-孤子解,并用三波法得到该方程组受特定平凡解影响的显式精确解.4.应用待定系数的齐次平衡法,给出KdV方程、Boussinesq方程、Benjamin-Bona-Mahoney-Camassa-Holm型方程、非线性广义六阶类Boussinesq方程、Boussinesq-Burgers方程组、新哈密尔顿振幅方程的多辛结构以及KdV-Burgers方程和Kuramoto-Sivashinsky方程的广义多辛结构.给出KdV型方程、Boussinesq型方程、Boussinesq-Burgers型方程组的定义及其多辛结构.以KdV方程为例,阐明由变分原理、欧拉-拉格朗日方程与应用T.J.Bridges的方法所得到偏微分方程的多辛结构、多辛守恒律、局部能量守恒律、局部动量守恒律是等价的.应用多辛傅里叶拟谱方法对Kd V型方程和Benjamin-Bona-Mahoney-Camassa-Holm型方程进行数值模拟.数值结果表明该算法具有很高的数值精度、可以保持长时间的数值稳定性、能够保持系统的全局能量和动量.
江小燕[4]（2015）在《时空有限元精细算法的研究及应用》文中研究指明动力学问题是土木工程领域中的重要课题之一,如结构的振动控制、结构时程分析、优化控制等过程中都要求较精确地求出系统动力响应,为结构提供良好的响应数据,实现结构设计、检测、控制所要求的功能。合理、有效、计算精度高、耗时少,且易于编制通用程序的数值分析以及计算方法的研究一直是动力学研究领域的热点。现有的大部分数值分析方法均奠定于连续时间系统,但应用力学有限元、控制与信号处理、瞬态场的分析等需要离散时间系统,且需要考虑不同时间的位移向量,因此对时间坐标运用有限元,将时间域有限元和空间域有限元联合离散成为一个需要进一步研究和发展的问题。本文时空有限元算法可以大大提高计算速度,精简计算量,易程序化,在大型结构计算中将更具优势。该方法可以解决移动荷载的结构振动问题,波动问题,接触问题,几何非线性问题,热传导问题,现代控制问题,损伤问题等,在这些领域时空有限元既优于隐式算法又优于显式算法,并且可以解决非线性问题。本文算例表明,与传统的有限单元法相比,在求解与时间有关的由时间依赖性问题所形成的常微分方程或偏微分方程时,时空有限元法在精度、收敛性和稳定性方面均具有一定的优越性。本文其主要研究内容如下：通过Hamilton变作用定律,推导了时空有限元；并利用时间的一维性构造了时空传递矩阵；参考精细积分法给出了精细的时空传递矩阵,保证解的稳定性和缩减了求解规模；本文进一步给出了子结构时空有限元法,解决了大规模计算的问题,同时也解决了传统子结构内部节点与外部节点的状态耦合问题。通过该方法进行了结构损伤分析、结构施工中的吊装动力分析等一些强非线性问题,证明该方法具有良好的效果。最后本文采用了时空有限元并结合Openinventor编制了一套具有3维显示便于操控的施工吊装仿真软件。目前国内外对于空间域应用有限单元的研究已相当完善,而对时空有限元的研究,虽取得了很大的进展,但仍有广阔的发展空间,本文将进行进一步的探索。
谢梦玲[5]（2014）在《一类非线性多延迟偏微分方程的数值解法》文中指出延迟微分方程在近二十年来得到了迅速的发展，延迟偏微分方程作为微分方程的一个发展活跃分支，广泛应用于人口动力学、传染病学、生态学、核工程、交通调度、工程控制等科学领域,对描述自然科学和社会科学中的各种现象具有重要作用。学者们关于延迟偏微分方程的理论研究成果越来越多，如解的稳定性，收敛性，周期性，振动性等。因延迟项的存在，求解延迟微分方程很少可以得到解析解的表达式，并且一定程度上使得理论分析复杂化，因此对延迟微分方程的数值解法的研究十分必要。考虑一类非线性单延迟偏微分方程，Ferreira JA.给出了向后Euler差分格式，孙志忠，张在斌先后建立了Crank-Nicolson型差分格式和紧致差分格式，关于数值解法的稳定性和收敛性的证明也都给出。这几种数值解法也可以求解多延迟偏微分方程的问题。本文主要针对一类多延迟偏微分方程的初边值问题，提出三种数值解法并对其收敛性和稳定性进行分析。针对上述多延迟微分方程可以建立相应的隐式Euler差分格式、Crank-Nicolson型差分格式和紧致差分格式。应用能量分析方法，三种数值解法的稳定性和收敛性的证明容易得出。最后通过相应的数值实例研究验证数值解法的稳定性和收敛性。
林丽烽[6]（2010）在《四阶抛物型方程基于子域精细积分方法的五次非多项式样条解》文中认为基于子域精细积分理论,利用五次非多项式样条函数关系式,给出了一个求解四阶抛物型方程周期初值的含参数α>0的无条件稳定的差分格式.该格式为2层十点的隐格式.随后通过稳定性分析和误差分析,从理论上说明该格式是无条件稳定的,其局部截断误差为O（α（Δt）+（Δt）2+（Δx）6）,其中Δt、Δx分别为时间步长和空间步长.结果表明,本文构造的格式是有效且实用的.
张仁宁[7]（2010）在《两类时滞抛物型方程的三次样条解法》文中认为本文主要研究两类时滞抛物型方程的三次样条解法,并进行理论分析。时滞抛物型方程是延迟微分方程的一种。延迟微分方程在人口动力学、传染病学、环境工程等领域中有广泛的应用。在很多情况下,时滞抛物型方程很难获得精确的解析解。在处理实际问题时,我们经常使用数值方法来获得近似解。随着人们越来越重视延迟现象,对时滞抛物型方程的研究就有着重要的实际意义。求解时滞抛物型方程有很多种方法,例如有限差分法、有限元法等等。本文在有限差分法的基础上,利用样条函数的良好的逼近性质,给出了时滞抛物型方程的三次样条解法。第一章介绍了时滞微分方程的学术背景、理论及实际意义,还有相关数值方法的研究进展和成果,并给出了本文所需要的基础知识,介绍了本文的主要内容与结构。第二章研究了一类中立型抛物型方程初边值问题的三次样条解法。首先对时间导数项进行差分离散,然后对空间导数项进行插值离散,得到一个隐式格式。接下来证明了该格式的稳定性。最后,通过数值试验对本方法进行了验证。第三章给出了一类时滞抛物型方程初边值问题的三次样条精细积分法。首先对方程中的空间导数项进行插值离散,由此得到一个时滞常微分方程组。接下来应用精细积分法,得出我们需要的数值方法,并证明了该方法的数值稳定性。最后给出了数值算例。
许秀娟[8]（2009）在《两类抛物型方程的有限差分法》文中提出本文介绍了两种抛物型方程――热传导方程和时滞非线性抛物型方程。其中热传导方程是描述大气污染物质浓度的扩散、沿海盐度和流体运动规律的微分方程。另一个是时滞非线性抛物型方程,它同样应用广泛,如在人口动力学、生态学、环境科学等领域中的数据模拟问题都可以归结为时滞非线性抛物性方程。因此,对抛物型方程数值解的研究具有十分重要的理论和实际应用意义。求抛物型方程数值解的方法有多种,如有限差分法、有限元法和边界元方法等,其中有限差分法是最常用的一种数值计算方法。本文就是应用有限差分方法对抛物型方程做出了两种差分格式。最后,我们对两种差分格式分别进行稳定性分析和算例检验。本文第一部分运用Crank-Nicolson隐式格式对热传导方程进行高精度隐式差分离散,然后我们用Fourer方法证明其稳定性,数值算例进一步说明了数值解法的有效性。本文第二部分是对时滞非线性抛物型方程数值解法的研究,运用了一种具有全局收敛性的单调迭代法求解其数值解,给出了迭代初值存在的条件及寻找方法。然后我们构造了单调迭代格式,并以有序上下解作为迭代初值。在本文中,我们不仅证明了单调格式的收敛性,还证明了解的存在性和唯一性。最后给出的数值算例进一步说明了数值解法的有效性。
林丽烽[9]（2009）在《四阶抛物型方程基于子域精细积分的样条解》文中研究表明基于子域精细积分思想,结合非多项式样条函数,本文提出求解四阶抛物型方程的新方法.全文主要内容如下:一、首先介绍现有的求解四阶抛物型方程的方法和结果.二、对一元n次多项式样条的基本概念、均匀划分下的五次B样条、均匀划分下五次样条的基本关系、五次周期样条插值和五次周期非多项式样条插值作简单介绍.三、简要介绍了子域精细积分的发展及其在四阶抛物型方程中的应用.四、介绍了五次B样条函数在求解四阶抛物型方程中的应用,基于子域精细积分的思想,提出了求解四阶抛物型方程新的数值方法.数值实验表明,该方法是有效的且能较好地逼近精确解.五、针对四阶抛物型方程周期初值问题,在子域精细积分方法的基础上,对空间项采用五次多项式样条函数进行离散,提出了一个含参数的两层十点格式.该格式是无条件稳定的,且其局部截断误差为O（α△t + （△t）2 + （△x）2）.随后,数值实验验证了理论分析的正确性.六、针对四阶抛物型方程周期初值问题,在子域精细积分方法的基础上,利用五次非多项式样条函数关系式,提出了一个含参数的两层十点格式.随后的稳定性和误差分析,从理论上说明该格式是无条件稳定的,且它的局部截断误差为O（α△t + （△t）2 +（△x）6）.之后,数值实验验证了理论分析的正确性,表明本章提出的格式实用而有效.
刘利斌,刘焕文,余锦鸿[10]（2008）在《四阶抛物型方程子域精细积分紧致差分格式》文中提出首先给出了四阶导数的紧致差分公式,然后应用子域精细积分的方法,本文构造出了一个求解四阶抛物型方程周期初值问题的含参数α（0<α<<Δt）的紧致格式,所得到的差分格式为五点、两层的隐格式。Fourier分析方法表明该格式为无条件稳定,其局部截断误差为O（α（Δt）2+α2（Δt）3+（Δx）4）,其中Δt,Δx分别为时间步长和空间步长,误差分析和数值实验均表明,本文构造的格式比经典的C rank-N icholson格式和Sau l ev构造的格式精度要高阶10-310-4。从精度及稳定性方面考虑,本文构造的格式也较好,因此,本文的差分格式是有效的,具有很好的实用性。
二、抛物型方程周期问题的高精度精细积分法（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、抛物型方程周期问题的高精度精细积分法（论文提纲范文）
（1）周期及准周期结构瞬态热传导问题的高效数值算法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 主要符号表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景与意义 |
| 1.2 周期结构热传导问题研究进展 |
| 1.3 精细积分算法求解大规模问题研究进展 |
| 1.4 移动热源作用下瞬态热传导问题研究进展 |
| 1.5 准周期结构瞬态热传导问题研究进展 |
| 1.6 本文的主要研究工作 |
| 2 瞬态热传导问题有限元离散及精细积分方法简介 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 瞬态热传导问题及其有限元离散 |
| 2.3 精细积分方法 |
| 3 一维周期结构瞬态热传导问题的高效数值算法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 一维周期结构及其有限元离散 |
| 3.3 矩阵指数元素的物理含义及瞬态热传导问题的物理特性 |
| 3.4 一维周期结构瞬态热传导问题所对应的矩阵指数代数结构 |
| 3.4.1 矩阵指数元素分布的带状稀疏特性 |
| 3.4.2 矩阵指数元素分布的斜平移重复特性 |
| 3.5 一维周期结构矩阵指数与代表周期结构矩阵指数之间的关系 |
| 3.6 代表周期结构矩阵指数的计算 |
| 3.7 数值算例 |
| 3.7.1 算例1:均质多孔周期结构 |
| 3.7.2 算例2:非均质层状周期结构 |
| 3.8 本章小结 |
| 4 二维周期结构瞬态热传导问题的高效数值算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 二维周期结构及其有限元离散 |
| 4.3 二维周期结构瞬态热传导问题所对应的矩阵指数代数结构 |
| 4.4 由5×5个单胞组成的二维周期结构温度响应分解 |
| 4.5 一般二维周期结构温度响应的分解 |
| 4.6 小规模有限元模型矩阵指数的计算 |
| 4.7 数值算例 |
| 4.7.1 算例1:格栅周期结构 |
| 4.7.2 算例2:点阵周期结构 |
| 4.7.3 算例3:立体单胞周期结构 |
| 4.8 本章小结 |
| 5 移动热源作用下周期结构瞬态热传导问题的高效数值方法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 移动热源问题的数学模型 |
| 5.3 移动热源所引起的温度响应空间分布特点 |
| 5.4 移动热源所引起的温度响应解耦算法 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.5.1 算例1:单移动热源问题 |
| 5.5.2 算例2:多移动热源问题 |
| 5.6 本章小结 |
| 6 含材料非线性杂质准周期结构瞬态热传导问题的高效算法 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 含材料非线性杂质准周期结构瞬态热传导问题的有限元离散 |
| 6.3 含材料非线性杂质准周期结构瞬态热传导问题的准叠加原理 |
| 6.4 含材料非线性杂质准周期结构温度响应的解耦计算 |
| 6.5 含杂质小规模子结构以及完美周期结构瞬态热传导问题的求解 |
| 6.6 含线性杂质准周期结构的数值算例 |
| 6.6.1 算例1:线性杂质集中分布 |
| 6.6.2 算例2:线性杂质分散分布 |
| 6.7 含材料非线性杂质准周期结构的数值算例 |
| 6.7.1 算例1:非线性杂质集中分布 |
| 6.7.2 算例2:非线性杂质分散分布 |
| 6.7.3 算例3:立体非线性杂质单胞 |
| 6.8 本章小结 |
| 7 结论与展望 |
| 7.1 结论 |
| 7.2 创新点摘要 |
| 7.3 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间科研项目及科研成果 |
| 致谢 |
| 作者简介 |
（2）非均质油藏高效数值模拟算法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 油藏的非均质性 |
| 1.2 非均质油藏渗流方程的数值离散方法 |
| 1.3 自适应网格法在非均质油藏中应用 |
| 1.4 非均质油藏的大规模数值模拟 |
| 1.5 本文的研究工作 |
| 第2章 数学模型及常用的数值模拟方法 |
| 2.1 控制方程 |
| 2.1.1 单相流的控制方程 |
| 2.1.2 油水两相流的控制方程 |
| 2.1.3 非等温油藏的多相流方程 |
| 2.2 控制方程的数值求解 |
| 2.2.1 网格系统 |
| 2.2.2 传统的数值离散格式 |
| 2.2.3 线性代数方程组求解器 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 三维非均质张量渗透率单相不可压缩稳态渗流的有限分析格式 |
| 3.1 公共棱邻域的准二维特性 |
| 3.2 公共棱邻域的局部解析解 |
| 3.2.1 局部解析解的建立 |
| 3.2.2 局部解析解中线性解的重要性 |
| 3.3 基于局部解析解构建三维张量情况下的有限分析格式 |
| 3.3.1 内部节点有限分析格式(FAM)的建立 |
| 3.3.2 边界条件的处理 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.4.1 算例1:与精确解对比 |
| 3.4.2 算例2:渗透率棋盘式分布 |
| 3.4.3 算例3:渗透率对数正态分布 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 复杂构造油藏的自适应网格法研究 |
| 4.1 含泥质夹层油藏的自适应网格法 |
| 4.2 算例验证 |
| 4.2.1 单层泥质夹层非均质蒸汽驱算例 |
| 4.2.2 交叉泥质夹层非均质蒸汽驱算例 |
| 4.2.3 非均质蒸汽驱算例 |
| 4.2.4 复杂泥质夹层非均质蒸汽驱算例 |
| 4.3 复杂韵律油藏的自适应网格法 |
| 4.3.1 精细网格结构 |
| 4.3.2 粗化方法及标准 |
| 4.3.3 算例验证 |
| 4.3.3.1 复杂韵律地质模型的两相驱替 |
| 4.3.3.2 强非均质性韵律地质模型的两相驱替 |
| 4.4 实际油藏算例 |
| 4.4.1 算例地质条件 |
| 4.4.2 氮气辅助蒸汽吞吐 |
| 4.5 本章小结 |
| 第5章 单机千万节点的油水两相数值求解器的研究 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 压力方程的交替方向格式 |
| 5.3 迭代参数的讨论及修正 |
| 5.4 饱和度方程的拓扑排序算法 |
| 5.5 数值算例 |
| 5.5.1 算例1:理想规则模型 |
| 5.5.2 算例2:实际地质油藏 |
| 5.6 本章小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 全文工作总结 |
| 6.2 本文工作的创新点 |
| 6.3 未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间发表的学术论文与取得的其他研究成果 |
（3）几类非线性偏微分方程的行波解及多辛结构研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 偏微分方程的精确解法概述 |
| 1.2.1 反散射方法 |
| 1.2.2 贝克隆变换法 |
| 1.2.3 李群方法 |
| 1.2.4 首次积分法和黎卡提辅助常微分方程法 |
| 1.2.5 Hirota双线性法 |
| 1.2.6 齐次平衡法和(G′/G)-展开法 |
| 1.2.7 其他方法简介 |
| 1.3 偏微分方程的数值解法概述 |
| 1.3.1 差分方法简介 |
| 1.3.2 有限元方法简介 |
| 1.3.3 谱方法简介 |
| 1.3.4 辛方法与多辛方法简介 |
| 1.4 选题背景及意义 |
| 1.5 本文的主要工作及创新点 |
| 1.5.1 本文的主要创新点 |
| 1.5.2 本文结构安排 |
| 第二章 广义黎卡提-伯努利辅助常微分方程方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 广义黎卡提-伯努利方程的定义、解及其贝克隆变换 |
| 2.3 广义黎卡提-伯努利辅助常微分方程方法的原理和步骤 |
| 2.4 一般(修正的)KdV方程的行波解 |
| 2.5 关于广义黎卡提-伯努利辅助常微分方程方法的几点说明 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 黎卡提-伯努利-椭圆辅助常微分方程方法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 黎卡提-伯努利-椭圆辅助方程方法的原理和步骤 |
| 3.3 BBM方程的行波解 |
| 3.4 一般(修正的)Burgers方程的行波解 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 待定系数的齐次平衡方法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 待定系数的齐次平衡方法的原理和步骤 |
| 4.3 Boussinesq-Burgers方程组的组合行波解 |
| 4.4 KdV方程的精确解 |
| 4.4.1 KdV方程的双线性方程 |
| 4.4.2 KdV方程的双线性方程的微扰解法和递推解法 |
| 4.4.3 KdV方程的双线性方程的相容性条件解法 |
| 4.5 GNNV方程组的精确解 |
| 4.5.1 GNNV方程组的组合双线性结构 |
| 4.5.2 GNNV方程组的3-孤子解 |
| 4.5.3 GNNV方程组的三波解 |
| 4.6 立方型Boussinesq方程的齐次结构和行波解 |
| 4.7 Eckhaus方程的精确解 |
| 4.8 本章小结 |
| 第五章 非线性偏微分方程多辛结构的构造 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 基于待定系数的齐次平衡法的偏微分方程多辛结构的构造 |
| 5.2.1 KdV方程的多辛结构 |
| 5.2.2 Boussinesq方程的多辛结构 |
| 5.2.3 Boussinesq-Burgers方程组的多辛结构 |
| 5.3 KdV型方程、Boussinesq型方程、Boussinesq-Burgers型方程组的多辛结构 |
| 5.3.1 KdV型方程的定义及其多辛结构 |
| 5.3.2 Boussinesq型方程的定义及其多辛结构 |
| 5.3.3 Boussinesq-Burgers型方程的定义及其多辛结构 |
| 5.4 基于欧拉-拉格朗日方程的偏微分方程多辛结构的构造 |
| 5.4.1 KdV型方程的多辛结构 |
| 5.4.2 Boussinesq型方程的多辛结构 |
| 5.5 基于变分原理的偏微分方程多辛结构的构造 |
| 5.6 SGB方程、NHA方程、BBM-CH型方程的多辛结构 |
| 5.6.1 SGB方程的多辛结构 |
| 5.6.2 NHA方程的多辛结构 |
| 5.6.3 BBM-CH型方程的多辛结构 |
| 5.7 偏微分方程的广义多辛结构 |
| 5.7.1 KdV-Burgers方程的广义多辛结构 |
| 5.7.2 Kuramoto-Sivashinsky方程的广义多辛结构 |
| 5.8 数值模拟 |
| 5.8.1 KdV型方程的数值模拟 |
| 5.8.2 BBM-CH型方程的数值模拟 |
| 5.9 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 工作总结 |
| 6.2 研究展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间发表的学术论文 |
| 致谢 |
（4）时空有限元精细算法的研究及应用（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 结构动力分析的数值方法综述 |
| 1.2 结构动力微分方程数值计算方法综述 |
| 1.3 时空有限元研究进展 |
| 1.4 精细积分法研究进展 |
| 1.5 本文的主要研究思路和内容 |
| 1.6 本章小结 |
| 第二章 时空有限元的构造方法 |
| 2.1 时空有限元基本概念 |
| 2.2 时空有限元的构造方法 |
| 2.2.1 基于加权余量法的时空有限元 |
| 2.2.2 基于Gurtin变分原理的时空有限元 |
| 2.2.3 基于Hamilton变作用定律的时空有限元 |
| 2.3 基于Hamilton变作用定律的线性时空有限元的推导 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 时空传递矩阵的构造 |
| 3.1 传递矩阵法原理 |
| 3.1.1 传递矩阵法 |
| 3.1.2 边值和初值问题的求解 |
| 3.1.3 传递矩阵的构造方法 |
| 3.2 时空传递矩阵的基本形式 |
| 3.3 单自由度问题的时空传递矩阵的构造 |
| 3.3.1 基于Hermite多项式插值的传递矩阵 |
| 3.3.2 基于三角函数多项式插值的传递矩阵 |
| 3.4 多自由度问题的时空传递矩阵的构造 |
| 3.5 时空传递矩阵的保辛特性 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 时空有限元的精细算法 |
| 4.1 单自由度体系的时空有限元精细算法 |
| 4.1.1 无荷载作用下的精细算法 |
| 4.1.2 常数荷载作用下的精细算法 |
| 4.1.3 线性变化的荷载作用下的精细算法 |
| 4.1.4 级数荷载作用下的精细算法 |
| 4.1.5 单一周期荷载作用下的精细算法 |
| 4.1.6 常数荷载和单一周期荷载共同作用下的精细算法 |
| 4.1.7 多周期荷载共同作用下的精细算法 |
| 4.1.8 傅里叶级数荷载作用下的精细算法 |
| 4.2 时空有限元精细算法在梁结构体系中的应用 |
| 4.3 时空有限元的精细算法在非线性问题中的应用 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 时空有限元的精细子结构方法 |
| 5.1 子结构法基本原理 |
| 5.1.1 静力问题子结构法 |
| 5.1.2 GuYan法 |
| 5.1.3 动力问题子结构法 |
| 5.2 时空有限元的精细子结构法 |
| 5.3 算例分析 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 基于时空有限元的结构损伤分析 |
| 6.1 基于刚度的结构损伤判定 |
| 6.2 利用时空传递矩阵进行结构损伤反演分析 |
| 6.3 利用时空有限元分析结构损伤 |
| 6.4 本章小结 |
| 第七章 基于时空有限元的大跨钢结构吊装仿真 |
| 7.1 钢结构施工吊装过程中结构的状态描述 |
| 7.2 基于时空有限元的结构内力分析 |
| 7.3 基于Coin3d Open Inventor的软件设计 |
| 7.3.1 Coin3d Open Inventor简介 |
| 7.3.2 软件功能和基本原理 |
| 7.3.3 工程应用 |
| 7.4 本章小结 |
| 第八章 结论与展望 |
| 附录 |
| 攻读博士学位期间的学术活动及成果情况 |
| 参考文献 |
（5）一类非线性多延迟偏微分方程的数值解法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 延迟微分方程的发展历史 |
| 1.2 延迟常微分方程数值方法的研究 |
| 1.3 延迟偏微分方程的数值方法的研究 |
| 1.4 本文研究内容 |
| 2 求解偏微分方程的几种数值解法 |
| 2.1 隐式 Euler 方法 |
| 2.2 Crank-Nicolson 型差分格式 |
| 2.3 紧致差分格式 |
| 3 总结 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
（6）四阶抛物型方程基于子域精细积分方法的五次非多项式样条解（论文提纲范文）
| 1 基于子域精细积分方法的五次非多项式样条差分格式的建立 |
| 2 数值例子 |
| 3 小结与讨论 |
（7）两类时滞抛物型方程的三次样条解法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题来源及研究的目的和意义 |
| 1.2 时滞微分方程的研究现状 |
| 1.3 三次样条插值法与精细积分法初探 |
| 1.3.1 三次样条插值法 |
| 1.3.2 精细积分法 |
| 1.4 基础知识 |
| 1.4.1 有限差分法 |
| 1.4.2 矩阵指数 |
| 1.5 本论文的主要研究内容 |
| 第2章 中立型时滞抛物方程的三次样条解法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 样条函数与导数之间的关系 |
| 2.3 差分格式的建立 |
| 2.4 误差分析 |
| 2.5 稳定性分析 |
| 2.6 数值算例 |
| 2.7 本章小节 |
| 第3章 时滞抛物型方程的三次样条精细积分法 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 半离散格式的建立 |
| 3.3 精细积分法 |
| 3.4 数值稳定性 |
| 3.5 数值算例 |
| 3.6 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（8）两类抛物型方程的有限差分法（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 热传导方程数值方法研究现状 |
| 1.2 时滞抛物方程数值方法研究现状 |
| 1.3 单调迭代法介绍 |
| 1.4 本论文的主要研究内容 |
| 第2章 传统有限差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 古典显格式 |
| 2.3 古典隐格式 |
| 2.4 Crank-Nicolson隐式格式 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 热传导方程的高精度隐式差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 差分格式的构造 |
| 3.3 稳定性分析 |
| 3.4 数值算例 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 非线性时滞抛物型方程的有限差分格式 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 有限差分格式的构造 |
| 4.3 有限差分解的存在性与唯一性 |
| 4.4 差分格式的收敛性 |
| 4.5 差分格式的稳定性 |
| 4.6 数值算例 |
| 4.7 本章小结 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（9）四阶抛物型方程基于子域精细积分的样条解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 引言 |
| 2 样条函数简介 |
| 2.1 一元多项式样条函数空间 |
| 2.2 均匀分划下的五次B 样条函数 |
| 2.3 五次多项式样条函数的F关系 |
| 2.4 均匀分划下的五次周期样条函数插值 |
| 2.5 均匀分划下五次非多项式样条函数的(F|~)关系 |
| 2.6 均匀分划下五次非多项式周期样条插值 |
| 3 子域精细积分方法 |
| 3.1 精细积分方法概况 |
| 3.2 子域精细积分方法在四阶抛物型方程中的应用 |
| 4 基于子域精细积分的五次多项式B样条解 |
| 4.1 基于子域精细积分的五次B样条差分格式 |
| 4.2 数值例子 |
| 4.3 结果与讨论 |
| 5 基于子域精细积分的五次多项式样条解 |
| 5.1 基于子域精细积分格式的五次样条差分格式 |
| 5.2 稳定性及误差分析 |
| 5.3 数值列子与分析 |
| 6 基于子域精细积分的五次非多项式样条解 |
| 6.1 基于子域精细积分格式的五次非多项式样条差分格式 |
| 6.2 稳定性及误差分析 |
| 6.3 数值列子 |
| 6.4 结果与讨论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 发表与完成文章目录 |
（10）四阶抛物型方程子域精细积分紧致差分格式（论文提纲范文）
| 1 子域精细积分紧致Crank-Nicolson差分格式 |
| 1.1 紧致差分公式的推导[12] |
| 1.2 子域精细积分紧致Crank-Nicholson差分格式的构造 |
| 2 数值例子 |
| 3 结果与讨论 |
四、抛物型方程周期问题的高精度精细积分法（论文参考文献）
- [1]周期及准周期结构瞬态热传导问题的高效数值算法[D]. 崔海超. 大连理工大学, 2020
- [2]非均质油藏高效数值模拟算法的研究[D]. 王敏. 中国科学技术大学, 2019(08)
- [3]几类非线性偏微分方程的行波解及多辛结构研究[D]. 杨小锋. 西北工业大学, 2016(05)
- [4]时空有限元精细算法的研究及应用[D]. 江小燕. 合肥工业大学, 2015(06)
- [5]一类非线性多延迟偏微分方程的数值解法[D]. 谢梦玲. 华中科技大学, 2014(12)
- [6]四阶抛物型方程基于子域精细积分方法的五次非多项式样条解[J]. 林丽烽. 福建农林大学学报(自然科学版), 2010(04)
- [7]两类时滞抛物型方程的三次样条解法[D]. 张仁宁. 哈尔滨工业大学, 2010(02)
- [8]两类抛物型方程的有限差分法[D]. 许秀娟. 哈尔滨工业大学, 2009(S2)
- [9]四阶抛物型方程基于子域精细积分的样条解[D]. 林丽烽. 广西民族大学, 2009(06)
- [10]四阶抛物型方程子域精细积分紧致差分格式[J]. 刘利斌,刘焕文,余锦鸿. 重庆师范大学学报(自然科学版), 2008(03)