通信信道的香农容量、图拉姆齐数和 Erds 猜想

一、The Shannon capacity of a communication channel,graph Ramsey number and a conjecture of Erds（论文文献综述）

曹琦^[1]（2015）在《带有记忆为1的二进制信道的零错误信道容量》文中进行了进一步梳理信道容量问题是信息论中的一个核心问题,Shannon给出的信道编码定理是指,对于一个有噪声的信道,当信息的传输速率不大于信道容量时,通过增加传输序列的长度,可以使得传输的错误概率趋近于0。随着信息论不断的发展,人们意识到有一些信道是不能容忍传输错误（例如当只需要传输少量信息时）,因此要求错误概率必须等于0,继而引出零错误信道容量这一概念。不同于经典的信道容量,零错误信道容量要求当信息的传输速率不大于零错误信道容量时,一定存在某种传输策略使得传输的错误概率等于0。零错误信道容量这一概念被提出后,相较于经典的信道容量,零错误信道容量对传输性能要求很高,同时也涉及到组合数学等其他知识,一直是一个很具有挑战性的问题,相关的研究进展很缓慢。因此,研究者们从对普遍结论的研究转向对特例的研究。其中一个最为简单的模型就是,带有记忆为1的二进制离散信道。在本文之前,已经有研究者计算出其中部分信道的具体零错误信道容量,或给出下界。本文首先阐述了有关零错误信道容量研究的进展,指出由于该问题的研究过于困难,因此在近几年的研究中,研究者们开始把研究重心转移到一些特定信道,其中包括化学信道,时间信道,以及本文所研究的带有记忆为1的二进制信道容量。然后对本文中将要运用的信息论基础知识予以阐述,继而详细罗列了有关带有记忆为1的零错误信道容量的已有研究结论。接着本文针对该模型下还未解决的问题进行研究,并计算出来了其中关键的六种信道所对应的零错误信道容量。最后利用包含与被包含关系,推出了其余所有的记忆为1的零错误信道容量,从而完成了对该模型的全部研究。

张锐^[2]（2014）在《图的Ramsey数及相关极图问题的研究》文中提出图论是离散数学的一个重要分支,而Ramsey理论是图论研究中的一个重要方向,它已渗透到数学、计算机科学、信息论以及经济金融等领域。求解图的Ramsey数是Ramsey理论研究中的一个很活跃的分支,它在逻辑分析、复杂结构、并行计算和计算几何等计算机科学领域都有重要作用,吸引了国内外许多学者进行研究。极图理论是图论中的一个重要组成部分,它是在Turan极图问题的基础上发展起来的,主要研究顶点数一定且不包含某些子图的图的最大边数,即给定一个图集ψ={H1,H2,...,Hm),Turin数ex（n;ψ）是顶点数为n且不包含子图Hi（1≤i≤m）的图的最大边数,EX（n;ψ）表示这些边数为ex（n;ψ）的图集。因为Turan数是可着色方案中单色子图可以达到的最大边数,所以极图问题的研究可以确定相关多色Ramsey数的上界。随机图理论是目前图论研究中比较热门的方向之一,它是由Erdos和Renyi建立起来的,他们发现概率方法在解决图论中的某些极问题时非常有用。随机图Ramsey理论研究的一个重要方向是求解某些Ramsey性质的临界函数。Online Ramsey游戏是随机图Ramsey理论研究的重要内容,其研究成果可以为经典图论中Ramsey数的求解提供参考。本文利用计算机构造与数学证明相结合的方法,对与圈相关的Ramsey数、相关极图问题和圈的非对称opnline Ramsey游戏问题进行了研究。主要成果如下：对二部Ramsey数b（C2m;C2n）的研究。首先通过给出完全二部图Km+n-2,m+n-2和K2m-1,2m-1对于（C2m,C2n）可2-着色的方案,证明了二部Ramsey数b（C2m;C2n）的下界。在对b（C2m;C2n）上界的证明中,由归纳假设可知第一色子图中存在圈C2m-2。对于b（C2m;K2,2）上界的证明,通过分析不在C2m-2上的4个顶点与其他顶点的邻接情况证明了当m≥4时b（C2m;K2,2）=m+1。而对于b（C2m;C5）上界的证明,由于不在C2m-2上的顶点有6个,所以证明的难度大大增加。通过对8种情形的详细分析最终证明了当m≥4时6（C2m;C6）=m+2.对四色Ramsey数R（C6,H1,H2,H3）的研究,其中H1,H2和H3分别为C4或者C6。首先通过给出K18和K17对于（C6,H1,H2,H3）可4-着色的方案确定了R（C6,C4,C4, C4）≥19,R（C6,C6,C4,C4）≥18和R（C6,C6,C6,C4）≥18.并结合19和20个顶点不含C4或者C6的极图成果确定了R（C6,C4,C4,C4）=19和R（C6,C6，C4，C4）≤20.在对R4（C6）和R（C6,C6,C6,C4）.上界的证明中,提出了关于两个图的顶点集合之间好的双射的概念。并利用20个顶点不含C6的两个极图的特点,用数学方法证明了这两个极图的顶点之间不存在好的双射,即他们是不可拼接图,从而得到R4（C6）≤20和R（C6,C6, C6,C4）≤20。然后研制了图的拼接算法和对图的边进行两着色的算法进一步对R（C6,C6,H1,H2）的上界进行了改进,最终得到如下结果：R（C6,C4,C4,C4）=19,18≤R（C6, C6, C4, C4）≤19,18≤R（C6,C6,C6,C4）≤19和18≤R4（C6）≤19。对与圈相关的Turan数的研究。首先提出了一种基于MapReduce的分布式极图构造算法,并通过合理映射键值对、平均分割数据集和避免过多的I/O读写等措施提高了算法的执行效率。利用该算法,构造了不超过28个顶点不含C6的所有极图。试验结果表明,与串行算法相比,分布式算法的平均效率达到了75.48%。然后通过对不含C6极图结构的分析,提出了一种在不含C2k的基础图上扩展边以构造顶点较多的不含C2k极图的方法,从而给出了ex（n;{C2k}）的下界。最后,对围长为9的极图EX（n;{C3,C4..,C8}）进行了研究。基于三个围长不小于9的图,给出了n≤57时ex（n;{C3, C4,...,C8}）的下界。通过对围长为9的极图结构的研究,揭示了该类图中集合Dk（即度为k的所有顶点的集合）中顶点的邻接情形与其最大度之间的关系。利用上述关系,用数学方法证明了n=13,16,18,22,26时EX（n;{C3, C4,...,C8}）中图的结构,并利用这些图确定了当23≤n≤30时,ex（n;{C3,C4,...,C8}）的准确值。对与圈相关的非对称online Ramsey游戏的研究。首先利用贪婪策略得到了online Ramsey游戏终止的条件：出现危险图Fr。然后用数学归纳法证明了危险图集合中的特殊图（Fr）*是密度最小的图,即d（F’）≥d（F’）*。为证明该性质先研究了两色的情形,通过分析危险图集中图F2的外部边和顶点的覆盖情况,得到F2转化为（户）*后图密度的变化规律,证明了d（F2）≥d（F2）*。再将两色的情形推广到r色,将Fr的边按层结构进行划分,并采用与两色情形类似的证明策略逐层将Fr转化为（Fr）*,通过对每一层的顶点和边的变化情况及其对图密度的影响的详细分析证明了d（F’）≥d（F’）*。最后利用概率方法得到了与圈相关的r色非对称Ramsey游戏的临界函数No（S,r,n）的下界,其中S={Ck1, Ck2...,Ckr},k2≥k2≥...≥kr。

王瑞,李争武,齐麟^[3]（2007）在《Ramsey数与约束共存性》文中研究说明提出约束共存性概念,并证明约束共存极小状态的存在性,以及它与Ramsey定理所描述的Ramsey现象的等效性.用数量表示这种等效性,就是

王瑞,李争武^[4]（2007）在《Ramsey数与约束共存性》文中指出本文提出约束共存性概念,并证明约束共存极小状态的存在性,以及它与Ramsey定理所描述的极小Ramsey现象的等效性。用数量表示这种等效性,就是:r（p-1,q）=R（p,q）这里2≤p≤q均为整数。由此,我们得到相邻Ramsey数之间的一些基本的序关系,如:R（p,q）≥R（p-1,q+1）,R（p-1,q）+R（p,q-1）-R（p-1,q-1）≤R（p,q）,这里3≤p≤q均为整数。等等。

唐文亮^[5]（2006）在《一致超图的Ramsey性质与代数性质》文中研究说明作为一般图得推广,超图特别是一致超图能够更好得刻画现实生活中的问题。本文着重讨论了一致超图的Ramsey性质与代数性质。首先利用现代图论研究中普遍采用的概率方法和Lovász局部引理,我们分别得到了关于一致超图独立数的下界以及对称与非对称的双色Ramsey数下界估计,同时还得到了多色Ramsey数的下界。本文的另一主要内容是关于一致超图谱半径的讨论。利用Perron-Frobenius定理我们通过讨论一致超图邻接矩阵的行和来研究图的谱半径,同时还引入一个与超图邻接矩阵相似的矩阵,通过研究相似矩阵特征根来分析原来矩阵的特征根,也得到了较好的结果。

LI YushengCollege of Sciences, Hohai University, Nanjing 210098, China^[6]（2001）在《The Shannon capacity of a communication channel,graph Ramsey number and a conjecture of Erds》文中提出We briefly introduce the connection between the Shannon capacity of a communication channel and graph Ramsey number, which may receive attention from researchers on communication theory and graph theory.

二、The Shannon capacity of a communication channel,graph Ramsey number and a conjecture of Erds（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、The Shannon capacity of a communication channel,graph Ramsey number and a conjecture of Erds（论文提纲范文）

（1）带有记忆为1的二进制信道的零错误信道容量（论文提纲范文）

（2）图的Ramsey数及相关极图问题的研究（论文提纲范文）

（3）Ramsey数与约束共存性（论文提纲范文）

（5）一致超图的Ramsey性质与代数性质（论文提纲范文）

四、The Shannon capacity of a communication channel,graph Ramsey number and a conjecture of Erds（论文参考文献）

• [1]带有记忆为1的二进制信道的零错误信道容量[D]. 曹琦. 西安电子科技大学, 2015(03)
• [2]图的Ramsey数及相关极图问题的研究[D]. 张锐. 北京交通大学, 2014(06)
• [3]Ramsey数与约束共存性[J]. 王瑞,李争武,齐麟. 云南大学学报(自然科学版), 2007(S2)
• [4]Ramsey数与约束共存性[J]. 王瑞,李争武. 成功(教育), 2007(09)
• [5]一致超图的Ramsey性质与代数性质[D]. 唐文亮. 河海大学, 2006(06)
• [6]The Shannon capacity of a communication channel,graph Ramsey number and a conjecture of Erds[J]. LI YushengCollege of Sciences, Hohai University, Nanjing 210098, China. Chinese Science Bulletin, 2001(24)

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